Một xưởng thủy tinh mỹ nghệ cần sản xuất những chiếc bình thủy tinh cỡ lớn để ngâm một loại sâm. Chiếc bình được tạo hình bằng cách quay hình phẳng \(\left( H \right)\)( phần gạch chéo trong hình vẽ) quanh trục \(AB\). Hình \(\left( H \right)\) nằm trong hình chữ nhật \(ABCD\), giới hạn bởi các đoạn thẳng \(AM,BP\)(với \(M,P\) lần lượt nằm trên các cạnh \(AD,BC\), \(MP\,{\rm{//}}\,AB\)), cung tròn \(MN\) (có tâm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(AE\) nằm trên trục \(AB\)) và cung parabol \(NP\). Biết \[AB = 5\,{\rm{dm}},\,\,AM = 1,5\,{\rm{dm}},\,\,BP = 1,5\,{\rm{dm}},\,\,BE = 1\,{\rm{dm}}\]. Tiếp tuyến của cung tròn và cung parabol tại điểm tiếp giáp \(N\) là trùng nhau để đảm bảo thành bình mượt mà, chịu lực tốt và đảm bảo tính thẩm mỹ. Giả sử bề dày của thành thủy tinh không đáng kể. Hỏi chiếc bình ngâm sâm này có sức chứa tối đa bao nhiêu lít nước? (Kết quả làm tròn đến hàng phần chục).

                     

Đáp số: 6

Ta có: \[f'(t) = \frac{{ - 12000 \cdot ( - 11,5{e^{ - 0,5t}})}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2}}} = \frac{{138000{e^{ - 0,5t}}}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2}}}\].

Để tính tốc độ tăng trưởng người dùng của ứng dụng đạt giá trị lớn nhất ta xét:

\[\begin{array}{l}f''(t) = 138000 \cdot \frac{{ - 0,5{e^{ - 0,5t}}{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^2} - {e^{ - 0,5t}} \cdot 2(1 + 23{e^{ - 0,5t}})( - 11,5{e^{ - 0,5t}})}}{{{{(1 + 23{e^{ - 0,5t}})}^4}}} = 0\\ \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}}(1 + 23{e^{ - 0,5t}}) + 23{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}} - 11,5{e^{ - t}} + 23{e^{ - t}} = 0\\ \Leftrightarrow  - 0,5{e^{ - 0,5t}} + 11,5{e^{ - t}} = 0 \Leftrightarrow  - 1 + 23{e^{ - 0,5t}} = 0 \Leftrightarrow {e^{ - 0,5t}} = \frac{1}{{23}} \Leftrightarrow t = \frac{{\ln (23)}}{{0,5}} \approx 6,271\end{array}\]

Làm tròn đến hàng đơn vị theo yêu cầu của đề bài: \[t \approx 6\].

Đáp án: 1.

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = (1;2;2)\) và đi qua điểm \(M(2;1; - 1)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = (1;1;0)\).

Mặt phẳng \((P)\) chứa \(d\) nên vectơ pháp tuyến \({\vec n_P} \bot {\vec u_d}\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\). Ta có công thức:

\(\sin \alpha  = \frac{{|{{\vec n}_P} \cdot {{\vec u}_\Delta }|}}{{|{{\vec n}_P}| \cdot |{{\vec u}_\Delta }|}} = \cos ({\vec n_P},{\vec u_\Delta })\)

Để góc \(\alpha \) lớn nhất thì góc giữa \({\vec n_P}\) và \({\vec u_\Delta }\) phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \({\vec n_P}\) là hình chiếu của \({\vec u_\Delta }\) lên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d\).

Khi đó, vectơ pháp tuyến \({\vec n_P}\) được xác định bởi: \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_d},[{{\vec u}_\Delta },{{\vec u}_d}]} \right]\)

Tính tích có hướng: \([{\vec u_\Delta },{\vec u_d}] = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2;0 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (2; - 2;1)\).

Tính VTPT: \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_d},[{{\vec u}_\Delta },{{\vec u}_d}]} \right] = (6;3; - 6)\).

Chọn VTPT tối giản: \({\vec n_P} = (2;1; - 2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(2;1; - 1)\) và có VTPT \({\vec n_P} = (2;1; - 2)\):

\(2(x - 2) + 1(y - 1) - 2(z + 1) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 7 = 0\)

Đối chiếu với phương trình \(ax + by + cz - 7 = 0\), ta được: \(a = 2\),\(b = 1\),\(c =  - 2\)

Giá trị của biểu thức \(T = 2 + 1 + ( - 2) = 1\).