PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 4. Trong mỗi ý a), b), c), d) ở mỗi câu, thí sinh chọn đúng (Đ) hoặc sai (S)

Một thùng nước có dạng một khối tròn xoay với thiết diện qua trục của thùng (mặt cắt đi qua hai tâm của hai đường tròn đáy) là hai đường parabol đối xứng nhau qua trục đó. Biết hai đường tròn đáy thùng cùng có bán kính đáy bằng \(0,5\,{\rm{m}}\); thiết diện nhỏ nhất vuông góc với trục của thùng có bán kính \(0,2\,{\rm{m}}\); chiều cao của thùng nước bằng \(1,5\,{\rm{m}}\). Người ta bơm nước vào thùng với tốc độ \(5\) lít /phút. Xét hệ trục tọa độ \(Oxy\) với gốc \(O\) trùng với tâm đường tròn đáy của chậu nước, tia \(Ox\) chứa trục của thùng nước (đơn vị trên mỗi trục là mét). Mặt cắt qua trục của thùng nước cho ta hai nhánh parabol như hình vẽ. Gọi \(y = f\left( x \right)\) là parabol nằm phía trên trục hoành. 

Đáp án: \(5\).

Gọi \(\alpha  = \widehat {POB}\) \(\left( {0 < \alpha  < 90^\circ } \right)\), \(OB = \sqrt 3 \).

Tam giác \(OPB\) vuông tại \(P\). Khi quay tam giác \(OPB\) quanh trục \(OP\) được khối tròn xuay là khối nón có đường cao \(OP = OB\cos \alpha  = \sqrt 3 \cos \alpha \), bán kính đáy \(R = BP = OB\sin \alpha  = \sqrt 3 \sin \alpha \).

Thể tích khối tròn xoay

\(V = \frac{1}{3}OP.\pi B{P^2}\)\( = \frac{1}{3}\sqrt 3 \cos \alpha .\pi .3{\sin ^2}\alpha \)\( = \pi \sqrt 3 \cos \alpha .\left( {1 - {{\cos }^2}\alpha } \right)\).

Đặt \(t = \cos \alpha \). Điều kiện: \(0 < t < 1\). Ta có    \(V = \pi \sqrt 3 t.\left( {1 - {t^2}} \right)\) 

Xét hàm số \(f\left( t \right) = t\left( {1 - {t^2}} \right) =  - {t^3} + t\) trên \(\left( {0;1} \right)\).

Ta có \(f'\left( t \right) =  - 3{t^2} + 1\); \(f''\left( t \right) =  - 6t\).

\(f'\left( t \right) = 0 \Leftrightarrow  - 3{t^2} + 1 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{{\sqrt 3 }} \in \left( {0;1} \right)\),

Hàm số \(f\left( t \right) =  - {t^3} + t\) có duy nhất một điểm cực trị trên \(\left( {0;1} \right)\) và đó là điểm cực đại nên giá trị cực đại đó là giá trị lớn nhất của hàm số trên \(\left( {0;1} \right)\)

Do đó \(\mathop {\max }\limits_{\left( {0;1} \right)} f\left( t \right) = f\left( {\frac{1}{{\sqrt 3 }}} \right) = \frac{{2\sqrt 3 }}{9}\).

Vậy \({V_{\max }} = \pi \sqrt 3 .\frac{{2\sqrt 3 }}{9} = \frac{2}{3}\pi \).

Suy ra \(a = 2\), \(b = 3\).

Vậy \(a + b = 2 + 3 = 5\).

Kết luận: a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Đúng

a) Số táo ở thùng A nặng từ 280g trở lên nằm ở hai nhóm [280; 290) và [290; 300].

Số lượng: 4 + 3 = 7 (quả).

Xác suất: \[P = \frac{7}{{25}} = 0,28\]. a) Sai

b) Thùng A: Số táo \[ \ge 270{\rm{g}}\]là: 12 + 4 + 3 = 19 quả. Xác suất \[{P_A} = \frac{{19}}{{25}}\].

Thùng B: Số táo \[ \ge 270{\rm{g}}\]là: 7 + 10 + 4 = 21 quả. Xác suất \[{P_B} = \frac{{21}}{{25}}\].

Xác suất cả hai quả đều \[ \ge 270{\rm{g}}\]: \[P = \frac{{19}}{{25}} \times \frac{{21}}{{25}} = \frac{{399}}{{625}} = 0,6384\]. b) Đúng

c) Thùng A:

Trung bình \[{\bar x_A} = \frac{{2 \cdot 255 + 4 \cdot 265 + 12 \cdot 275 + 4 \cdot 285 + 3 \cdot 295}}{{25}} = 275,8\].

Phương sai \[s_A^2 = \frac{{2 \cdot {{255}^2} +  \ldots  + 3 \cdot {{295}^2}}}{{25}} - {(275,8)^2} = 111,36\].

Thùng B:

Trung bình \[{\bar x_B} = \frac{{1 \cdot 255 + 3 \cdot 265 + 7 \cdot 275 + 10 \cdot 285 + 4 \cdot 295}}{{25}} = 279,8\]

Phương sai \[s_B^2 = \frac{{1 \cdot {{255}^2} +  \ldots  + 4 \cdot {{295}^2}}}{{25}} - {(279,8)^2} = 104,96\]

Vì \[s_A^2 > s_B^2(111,36 > 104,96)\] nên cân nặng ở thùng A phân tán hơn. c) Đúng

d) Tứ phân vị thứ nhất \[{Q_1}\]: Ở vị trí \[\frac{{25}}{4} = 6,25\]. Nhóm chứa \[{Q_1}\] là [270; 280)

\[{Q_1} = 270 + \frac{{6,25 - 6}}{{12}} \cdot 10 \approx 270,21\]

Tứ phân vị thứ ba \[{Q_3}\]: Ở vị trí \[\frac{{3 \cdot 25}}{4} = 18,75\]. Nhóm chứa \[{Q_3}\]là [280; 290) (vì tần số tích lũy đến nhóm trước là 2+4+12=18).

\[{Q_3} = 280 + \frac{{18,75 - 18}}{4} \cdot 10 = 281,875\]

Khoảng tứ phân vị: \[{\Delta _Q} = {Q_3} - {Q_1} = 281,875 - 270,2083... \approx 11,67\](g). d) Đúng