Có một chiếc túi đựng \(3\) quả bóng trắng và \(4\) quả bóng đen. Từ chiếc túi này lấy ngẫu nhiên đồng thời \(3\) quả bóng, gọi số quả bóng trắng và số quả bóng đen lấy ra lần lượt là \(m,n\). Trong phép thử này, khi \(2m \ge n\), xác suất để số quả bóng trắng lấy ra là \(2\) bằng \(\frac{q}{p}\). Hãy tìm giá trị của \(p + q\). (Biết rằng \(p\) và \(q\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau).

Đáp án: \(109\)

Xét  \(0 < t \le 10\): \[V(t) = ( - {t^2} + 14t - 40){e^{\frac{t}{4}}} + 50\]

\(V'(t) = ( - 2t + 14){e^{\frac{t}{4}}} + ( - {t^2} + 14t - 40) \cdot \frac{1}{4}{e^{\frac{t}{4}}} = {e^{\frac{t}{4}}}\left( { - \frac{1}{4}{t^2} + \frac{3}{2}t + 4} \right)\).

\(V'(t) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{4}{t^2} + \frac{3}{2}t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\left( l \right)\\t = 8\left( n \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 8\):    \(V(8) = ( - {8^2} + 14 \cdot 8 - 40){e^{\frac{8}{4}}} + 50 \approx 109,11.\)

Với \(t = 10\):    \(V(10) = ( - {10^2} + 14 \cdot 10 - 40){e^{\frac{{10}}{4}}} + 50 = 50.\)

Xét \(10 < t \le 12\): \(V(t) = 4(t - 10)(3t - 41) + 50 = 12{t^2} - 284t + 1690\).

\[V\prime (t) = 24t - 284 = 0 \Rightarrow t \approx 11,83\].

Với \[t \approx 11.83 \Rightarrow V(11,83) \approx  - 14,33\].

Với \[t = 10 \Rightarrow V\left( {10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}50\].

Với \[t = 12 \Rightarrow V\left( {12} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}10\].

Vậy lượng nước tích trữ lớn nhất là \(V(8) \approx 109\).

a) Ta gọi \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\), đồ thị hàm số \(f\left( x \right)\) đi qua các điểm \(\left( {0;0,5} \right)\), đỉnh \(I\)\(\left( {0,75;0,2} \right)\)nên ta có \(\left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\ - \frac{b}{{2a}} = 0,75\\{0,75^2}a + 0,75b + c = 0,2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}c = 0,5\\1,5a + b = 0\\0,5625a + 0,75b + c = 0,2\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \frac{8}{{15}}\\b =  - \frac{4}{5}\\c = \frac{1}{2}\end{array} \right.\).

Suy ra \(f\left( x \right) = \frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}\).

Chọn Đúng.

b) Thể tích tối đa của thùng là

\(V = \pi \int\limits_0^{1,5} {{f^2}\left( x \right)dx = \pi \int\limits_0^{1,5} {{{\left( {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right)}^2}dx \approx 0,5\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)} } \).

Chọn Đúng

c) Thời gian bơm đầy thùng là \(t = \frac{V}{5}\)\( \approx 92\) (phút)\( \approx 1,5\)(giờ).

Chọn Sai.

d) Gọi \(t\) (phút) thì mực nước trong thùng là \(h\) (mét).

Ta có thể tích nước trong thùng sau \(t\) (phút) bơm là \(V = 5t\) (lít)\( = 0,005t\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)\).

Ta có \({V_h} = \pi \int\limits_0^h {{{\left( {\frac{8}{{15}}{x^2} - \frac{4}{5}x + \frac{1}{2}} \right)}^2}dx = \pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right)\,\,\left( {{{\rm{m}}^{\rm{3}}}} \right)} \).

Khi đó ta có

\[\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,005t\] (1).

Khi \(t = 20\) ta có \(\pi \left( {\frac{{64}}{{1125}}{h^5} - \frac{{16}}{{75}}{h^4} + \frac{{88}}{{225}}{h^3} - \frac{2}{5}{h^2} + \frac{1}{4}h} \right) = 0,1\)\( \Rightarrow {h_0} \approx 0,1640803548\).

Đạo hàm theo biến \(t\) hai vế của phương trình (1) ta được

\(\left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{\pi }\).

Tốc độ dâng lên của nước là

\(h'\left( t \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}{h^4} - \frac{{64}}{{75}}{h^3} + \frac{{264}}{{225}}{h^2} - \frac{4}{5}h + \frac{1}{4}} \right)}}\).

Tại thời điểm \(t = 20\), \({h_0} \approx 0,1640803548\) thì tốc độ dâng của nước là

\(h'\left( {20} \right) = \frac{{0,005}}{{\pi \left( {\frac{{64}}{{225}}h_0^4 - \frac{{64}}{{75}}h_0^3 + \frac{{264}}{{225}}h_0^2 - \frac{4}{5}{h_0} + \frac{1}{4}} \right)}}\)\( \approx 0,01084447993\,{\rm{m}}\)/phút\( \approx 0,01\,{\rm{m}}\)/phút.

Chọn Đúng.