Trên đường chạy như hình vẽ, khoảng cách từ An đến đích là \[{\log _3}x\] (km), còn khoảng cách từ Bình đến đích là \[{\log _x}729\] (km). Biết \[x > 1\].

Biết rằng tổng khoảng cách từ An và Bình đến đích là 5 km. Hỏi tổng các giá trị có thể có của \[x\] bằng bao nhiêu?

Đáp án: \(109\)

Xét  \(0 < t \le 10\): \[V(t) = ( - {t^2} + 14t - 40){e^{\frac{t}{4}}} + 50\]

\(V'(t) = ( - 2t + 14){e^{\frac{t}{4}}} + ( - {t^2} + 14t - 40) \cdot \frac{1}{4}{e^{\frac{t}{4}}} = {e^{\frac{t}{4}}}\left( { - \frac{1}{4}{t^2} + \frac{3}{2}t + 4} \right)\).

\(V'(t) = 0 \Leftrightarrow  - \frac{1}{4}{t^2} + \frac{3}{2}t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 2\left( l \right)\\t = 8\left( n \right)\end{array} \right.\)

Với \(t = 8\):    \(V(8) = ( - {8^2} + 14 \cdot 8 - 40){e^{\frac{8}{4}}} + 50 \approx 109,11.\)

Với \(t = 10\):    \(V(10) = ( - {10^2} + 14 \cdot 10 - 40){e^{\frac{{10}}{4}}} + 50 = 50.\)

Xét \(10 < t \le 12\): \(V(t) = 4(t - 10)(3t - 41) + 50 = 12{t^2} - 284t + 1690\).

\[V\prime (t) = 24t - 284 = 0 \Rightarrow t \approx 11,83\].

Với \[t \approx 11.83 \Rightarrow V(11,83) \approx  - 14,33\].

Với \[t = 10 \Rightarrow V\left( {10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}50\].

Với \[t = 12 \Rightarrow V\left( {12} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}10\].

Vậy lượng nước tích trữ lớn nhất là \(V(8) \approx 109\).

Đáp án: 43

Tổng số bóng trong túi là \(3 + 4 = 7\) quả.

Số cách lấy ngẫu nhiên \(3\) quả bóng từ \(7\) quả là: \(n(\Omega ) = C_7^3 = 35\).

Vì lấy ra \(3\) quả bóng nên ta luôn có \(m + n = 3\) với \(m,n \in \mathbb{N}\). Các cặp \((m,n)\) có thể là: \((0,3),(1,2),(2,1),(3,0)\).

Xét điều kiện \(2m \ge n\):

Nếu \(m = 0,n = 3 \Rightarrow 2.0 < 3\)(loại).

Nếu \(m = 1,n = 2 \Rightarrow 2.1 = 2 \ge 2\)(thỏa mãn). Số cách chọn: \(C_3^1 \cdot C_4^2 = 18\).

Nếu \(m = 2,n = 1 \Rightarrow 2.2 = 4 \ge 1\) (thỏa mãn). Số cách chọn: \(C_3^2 \cdot C_4^1 = 12\).

Nếu \(m = 3,n = 0 \Rightarrow 2.3 = 6 \ge 0\) (thỏa mãn). Số cách chọn: \(C_3^3 \cdot C_4^0 = 1\).

Gọi \(A\) là biến cố: "Lấy ra \(3\) quả bóng sao cho \(2m \ge n\)".

Số phần tử của biến cố \(A\) là \(n(A) = 18 + 12 + 1 = 31\).

Gọi \(B\) là biến cố: "Số quả bóng trắng lấy ra là \(2\)" (tương ứng cặp \(m = 2,n = 1\)).

Số phần tử của biến cố \(B\) thỏa mãn điều kiện \(A\) là \(n(B \cap A) = 12\).

Xác suất cần tìm là xác suất của \(B\) với điều kiện \(A\) đã xảy ra

\(P(B|A) = \frac{{n(B \cap A)}}{{n(A)}} = \frac{{12}}{{31}}\).

Vì \(12\) và \(31\) là hai số tự nhiên nguyên tố cùng nhau nên \(q = 12\) và \(p = 31\).

Giá trị của \(p + q = 31 + 12 = 43\).