Cho mặt cầu \[\left( O \right)\] nội tiếp hình chóp tứ giác đều \[P.ABCD\] biết \[PA = AB = 2\]. Cho \[EF\] là một đường kính của \[\left( O \right)\]. Điểm \[Q\] thuộc mặt ngoài của hình chóp. Giá trị lớn nhất của \[\overrightarrow {QE} .\overrightarrow {QF} \].
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Đáp án:
Đáp án: 2
Gọi \[H\] là tâm của đáy \[ABCD\]. Vì là hình chóp đều nên \[PH \bot ABCD\].
Đáy là hình vuông cạnh \[AB = a = 2 \Rightarrow AH = \sqrt 2 \Rightarrow PH = \sqrt {P{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {{2^2} - \left( {\sqrt 2 } \right)2} = \sqrt 2 \]
Mặt cầu \[\left( O \right)\] nội tiếp hình chóp tứ giác đều \[P.ABCD\]tiếp xúc với đáy tại \[H\]. Do đó tâm O nằm trên đoạn \[PH\]và \[OH = R\].
Xét mặt phẳng đi qua \[P,H\]và trung điểm \[M\] của cạnh \[AB\]. Trong tam giác\[PHM\], đường phân giác của \[\widehat {PMH}\] cắt \[PH\] tại \(O\).
Ta có \[HM = \frac{{AB}}{2} = 1,PM = \sqrt {P{H^2} + H{M^2}} = \sqrt {{{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2} + {1^2}} = \sqrt 3 \]
\[\overrightarrow {QE} .\overrightarrow {QF} = \left( {\overrightarrow {QO} + \overrightarrow {OE} } \right)\left( {\overrightarrow {QO} + \overrightarrow {OF} } \right) = \left( {\overrightarrow {QO} + \overrightarrow {OE} } \right)\left( {\overrightarrow {QO} - \overrightarrow {OE} } \right) = Q{O^2} - {R^2}\]
\[O{A^2} = {1^2} + {1^2} + {\left( {0 - R} \right)^2} = 2 + {R^2}\]
Để biểu thức đạt GTLN ta cần tìm điểm \(Q\) thuộc mặt ngoài của hình chóp sao cho khoảng cách \(QO\) là lớn nhất. \[QO\]lớn nhất khi \[QO = OA\].
Vậy \[Q{O^2} - {R^2} = 2 + {R^2} - {R^2} = 2\].
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: \(109\)
Xét \(0 < t \le 10\): \[V(t) = ( - {t^2} + 14t - 40){e^{\frac{t}{4}}} + 50\]
\(V'(t) = ( - 2t + 14){e^{\frac{t}{4}}} + ( - {t^2} + 14t - 40) \cdot \frac{1}{4}{e^{\frac{t}{4}}} = {e^{\frac{t}{4}}}\left( { - \frac{1}{4}{t^2} + \frac{3}{2}t + 4} \right)\).
\(V'(t) = 0 \Leftrightarrow - \frac{1}{4}{t^2} + \frac{3}{2}t + 4 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = - 2\left( l \right)\\t = 8\left( n \right)\end{array} \right.\)
Với \(t = 8\): \(V(8) = ( - {8^2} + 14 \cdot 8 - 40){e^{\frac{8}{4}}} + 50 \approx 109,11.\)
Với \(t = 10\): \(V(10) = ( - {10^2} + 14 \cdot 10 - 40){e^{\frac{{10}}{4}}} + 50 = 50.\)
Xét \(10 < t \le 12\): \(V(t) = 4(t - 10)(3t - 41) + 50 = 12{t^2} - 284t + 1690\).
\[V\prime (t) = 24t - 284 = 0 \Rightarrow t \approx 11,83\].
Với \[t \approx 11.83 \Rightarrow V(11,83) \approx - 14,33\].
Với \[t = 10 \Rightarrow V\left( {10} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}50\].
Với \[t = 12 \Rightarrow V\left( {12} \right){\rm{ }} = {\rm{ }}10\].
Vậy lượng nước tích trữ lớn nhất là \(V(8) \approx 109\).
Lời giải
Đáp án:
Đáp án: 1
Khi quay quanh trục \(Oy\)
+ Với \(y = 3{x^2} \Rightarrow {x^2} = \frac{y}{3}\)
+ Với \(y = {x^2} \Rightarrow {x^2} = y\)
Thể tích nước trong khối tròn xoay \(A\) là \[{V_1} = \pi \int\limits_0^u {\frac{y}{3}dy} = \frac{{\pi {u^2}}}{6}\]
Thể tích nước ngoài khối tròn xoay \(A\), trong khối tròn xoay \(B\) là:
\[{V_2} = \pi \int\limits_0^v {\left( {y - \frac{y}{3}} \right)dy} = \pi \int\limits_0^v {\left( {\frac{{2y}}{3}} \right)dy} = \frac{{\pi {v^2}}}{3}\]
Theo thời gian \(t\), nước ở phần thể tích \({V_1}\) vơi đi bao nhiêu thì nước ở khối \({V_2}\) tăng lên bấy nhiêu nên ta có
\[\begin{array}{l}\frac{{d{V_1}}}{{dt}} = - \frac{{d{V_2}}}{{dt}} \Leftrightarrow \frac{{d\left( {\frac{{\pi {u^2}}}{6}} \right)}}{{dt}} = - \frac{{d\left( {\frac{{\pi {v^2}}}{3}} \right)}}{{dt}} \Leftrightarrow \frac{\pi }{3}u.\frac{{du}}{{dt}} = - \frac{{2\pi }}{3}v.\frac{{dv}}{{dt}} \Leftrightarrow u.\frac{{du}}{{dt}} = - 2v.\frac{{dv}}{{dt}}\\ \Leftrightarrow \frac{{du}}{{dt}} = - \frac{{2v}}{u}\frac{{dv}}{{dt}} \Leftrightarrow \frac{{dv}}{{du}} = - \frac{u}{{2v}}\end{array}\]
Theo giả thiết có \[v = \frac{1}{2}u\], tại đó ta có \[\frac{{dv}}{{du}} = - \frac{u}{{2.\frac{u}{2}}} = - 1\].
Vậy độ lớn tốc độ thay đổi của chiều cao mực nước ở khoang ngoài theo chiều cao mực nước ở khoang trong tại thời điểm \(v = \frac{1}{2}u\) là \(\left| { - 1} \right| = 1\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập