Trong không gian \(Oxyz\), cho đường thẳng \(d\) là giao tuyến của hai mặt phẳng \((P):2x - 2y - z + 1 = 0\) và \((Q):x + 2y - 2z - 4 = 0\).Xét mặt cầu \((S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x - 6y + m = 0\,\,(m < 13)\).

Đáp án: 0,03.

1. Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega )\)

Mỗi người có một tập hợp các đường đi độc lập:

Số đường đi của người thứ nhất (\(A \to B\)): \({N_1} = C_{15 + 8}^{15} = C_{23}^{15}\)

Số đường đi của người thứ hai (\(E \to F\)): \({N_2} = C_{15 + 8}^{15} = C_{23}^{15}\)

\( \Rightarrow n(\Omega ) = {N_1} \times {N_2} = {(C_{23}^{15})^2}\)

2. Tính số trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\): "Cả hai người cùng đi qua \(I\)"

Để một người đi qua \(I\), lộ trình được chia thành hai giai đoạn.

 Đối với người thứ nhất (\(A \to I \to B\)):

o Từ \(A\) đến \(I\): Sang phải 11 bước, xuống 3 bước. Số cách: \(C_{11 + 3}^{11} = C_{14}^{11}\)

o Từ \(I\) đến \(B\): Sang phải 4 bước, xuống 5 bước. Số cách: \(C_{4 + 5}^4 = C_9^4\)

\( \Rightarrow \)số cách người thứ nhất qua \(I\): \(n\left( {{I_1}} \right) = C_{14}^{11} \times C_9^4\)

 Đối với người thứ hai (\(E \to I \to F\)):

o Từ \(E\) đến \(I\): Sang phải 11 bước, lên 5 bước. Số cách: \(C_{11 + 5}^{11} = C_{16}^{11}\)

o Từ \(I\) đến \(F\): Sang phải 4 bước, lên 3 bước. Số cách: \(C_{4 + 3}^4 = C_7^4\)

\( \Rightarrow \)số cách người thứ hai qua \(I\): \(n\left( {{I_2}} \right) = C_{16}^{11} \times C_7^4\)

Số cách để cả hai cùng qua \(I\) là: \(n\left( A \right) = n\left( {{I_1}} \right) \times n\left( {{I_2}} \right) = \left( {C_{14}^{11} \times C_9^4} \right).\left( {C_{16}^{11} \times C_7^4} \right)\)

3. Tính xác suất

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{\left( {C_{14}^{11} \times C_9^4} \right).\left( {C_{16}^{11} \times C_7^4} \right)}}{{{{(C_{23}^{15})}^2}}} \approx 0,03\).

Đáp số: 7,67.

Xét hình vẽ sau với \(O\) là tâm hình vuông và tia Ox đi qua trung điểm H của một cạnh hình vuông, gọi \(\varphi \) là góc hợp bởi tia \(Ox\) và tia \(Ot\) với \(\varphi  \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\).

Tam giác \(OMH\) vuông tại \(H \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{OH}}{{OM}} \Rightarrow OM = \frac{{OH}}{{\cos \varphi }} = \frac{1}{{\cos \varphi }}\).

\( \Rightarrow r = OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{\frac{1}{{\cos \varphi }} + 2}}{2} = \frac{{1 + 2\cos \varphi }}{{2\cos \varphi }}\).

Diện tích của đường cong \(\left( L \right)\) là \({S_L} = 8.\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( r \right)}^2}d\varphi }  = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {\frac{{1 + 2\cos \varphi }}{{2\cos \varphi }}} \right)}^2}d\varphi }  \approx 7,67{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\).