Một công ty sản xuất bánh kẹo có hai loại sản phẩm: kẹo dẻo trái cây giảm đường và kẹo dẻo trái cây thuần chay. Chúng được để trong các túi có dán nhãn tương ứng. Tỷ lệ túi không được dán nhãn thuần chay lớn gấp ba lần tỷ lệ túi được dán nhãn thuần chay. Có \(42\% \) số túi được dán nhãn là thuần chay cũng được dán nhãn là giảm đường. Tổng cộng có \(63\% \) số túi không được dán nhãn gì cả. Xét các biến cố sau:\(V\): “Một túi được chọn ngẫu nhiên được dán nhãn là thuần chay”.\(R\): “Một túi được chọn ngẫu nhiên được dán nhãn là giảm đường”.

Đáp án: 0,03.

1. Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega )\)

Mỗi người có một tập hợp các đường đi độc lập:

Số đường đi của người thứ nhất (\(A \to B\)): \({N_1} = C_{15 + 8}^{15} = C_{23}^{15}\)

Số đường đi của người thứ hai (\(E \to F\)): \({N_2} = C_{15 + 8}^{15} = C_{23}^{15}\)

\( \Rightarrow n(\Omega ) = {N_1} \times {N_2} = {(C_{23}^{15})^2}\)

2. Tính số trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\): "Cả hai người cùng đi qua \(I\)"

Để một người đi qua \(I\), lộ trình được chia thành hai giai đoạn.

 Đối với người thứ nhất (\(A \to I \to B\)):

o Từ \(A\) đến \(I\): Sang phải 11 bước, xuống 3 bước. Số cách: \(C_{11 + 3}^{11} = C_{14}^{11}\)

o Từ \(I\) đến \(B\): Sang phải 4 bước, xuống 5 bước. Số cách: \(C_{4 + 5}^4 = C_9^4\)

\( \Rightarrow \)số cách người thứ nhất qua \(I\): \(n\left( {{I_1}} \right) = C_{14}^{11} \times C_9^4\)

 Đối với người thứ hai (\(E \to I \to F\)):

o Từ \(E\) đến \(I\): Sang phải 11 bước, lên 5 bước. Số cách: \(C_{11 + 5}^{11} = C_{16}^{11}\)

o Từ \(I\) đến \(F\): Sang phải 4 bước, lên 3 bước. Số cách: \(C_{4 + 3}^4 = C_7^4\)

\( \Rightarrow \)số cách người thứ hai qua \(I\): \(n\left( {{I_2}} \right) = C_{16}^{11} \times C_7^4\)

Số cách để cả hai cùng qua \(I\) là: \(n\left( A \right) = n\left( {{I_1}} \right) \times n\left( {{I_2}} \right) = \left( {C_{14}^{11} \times C_9^4} \right).\left( {C_{16}^{11} \times C_7^4} \right)\)

3. Tính xác suất

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{\left( {C_{14}^{11} \times C_9^4} \right).\left( {C_{16}^{11} \times C_7^4} \right)}}{{{{(C_{23}^{15})}^2}}} \approx 0,03\).

Đáp số: 7,67.

Xét hình vẽ sau với \(O\) là tâm hình vuông và tia Ox đi qua trung điểm H của một cạnh hình vuông, gọi \(\varphi \) là góc hợp bởi tia \(Ox\) và tia \(Ot\) với \(\varphi  \in \left[ {0;\frac{\pi }{4}} \right]\).

Tam giác \(OMH\) vuông tại \(H \Rightarrow \cos \varphi  = \frac{{OH}}{{OM}} \Rightarrow OM = \frac{{OH}}{{\cos \varphi }} = \frac{1}{{\cos \varphi }}\).

\( \Rightarrow r = OP = \frac{{OM + ON}}{2} = \frac{{\frac{1}{{\cos \varphi }} + 2}}{2} = \frac{{1 + 2\cos \varphi }}{{2\cos \varphi }}\).

Diện tích của đường cong \(\left( L \right)\) là \({S_L} = 8.\frac{1}{2}\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( r \right)}^2}d\varphi }  = 4\int\limits_0^{\frac{\pi }{4}} {{{\left( {\frac{{1 + 2\cos \varphi }}{{2\cos \varphi }}} \right)}^2}d\varphi }  \approx 7,67{\rm{d}}{{\rm{m}}^2}\).