Cho hình chóp \[S.ABCD\] có đáy \[ABCD\] là hình vuông cạnh bằng \[2\]. Hình chiếu vuông góc của điểm \[S\] lên mặt phẳng \[\left( {ABCD} \right)\] trùng với trung điểm của cạnh \[AB\] và biết số đo góc nhị diện \[\left[ {S,AD,B} \right] = 60^\circ \], tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \[AB\] và \[SC\] (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Đáp án: \(71\).

Lợi nhuận của nhà máy A thu được là:

\[L\left( x \right) = x.P\left( x \right) - C\left( x \right) =  - 0,001{x^3} + 15x - 100\].

\[L'\left( x \right) =  - 0,003{x^2} + 15 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \approx 70,7\\x =  - 70,7\end{array} \right.\]

Khi đó lợi nhuận lớn nhất khi \[L\left( x \right) = L\left( {70,7} \right) = 71\].

Đáp án: 0,03.

1. Tính số phần tử của không gian mẫu \(n(\Omega )\)

Mỗi người có một tập hợp các đường đi độc lập:

Số đường đi của người thứ nhất (\(A \to B\)): \({N_1} = C_{15 + 8}^{15} = C_{23}^{15}\)

Số đường đi của người thứ hai (\(E \to F\)): \({N_2} = C_{15 + 8}^{15} = C_{23}^{15}\)

\( \Rightarrow n(\Omega ) = {N_1} \times {N_2} = {(C_{23}^{15})^2}\)

2. Tính số trường hợp thuận lợi cho biến cố \(A\): "Cả hai người cùng đi qua \(I\)"

Để một người đi qua \(I\), lộ trình được chia thành hai giai đoạn.

 Đối với người thứ nhất (\(A \to I \to B\)):

o Từ \(A\) đến \(I\): Sang phải 11 bước, xuống 3 bước. Số cách: \(C_{11 + 3}^{11} = C_{14}^{11}\)

o Từ \(I\) đến \(B\): Sang phải 4 bước, xuống 5 bước. Số cách: \(C_{4 + 5}^4 = C_9^4\)

\( \Rightarrow \)số cách người thứ nhất qua \(I\): \(n\left( {{I_1}} \right) = C_{14}^{11} \times C_9^4\)

 Đối với người thứ hai (\(E \to I \to F\)):

o Từ \(E\) đến \(I\): Sang phải 11 bước, lên 5 bước. Số cách: \(C_{11 + 5}^{11} = C_{16}^{11}\)

o Từ \(I\) đến \(F\): Sang phải 4 bước, lên 3 bước. Số cách: \(C_{4 + 3}^4 = C_7^4\)

\( \Rightarrow \)số cách người thứ hai qua \(I\): \(n\left( {{I_2}} \right) = C_{16}^{11} \times C_7^4\)

Số cách để cả hai cùng qua \(I\) là: \(n\left( A \right) = n\left( {{I_1}} \right) \times n\left( {{I_2}} \right) = \left( {C_{14}^{11} \times C_9^4} \right).\left( {C_{16}^{11} \times C_7^4} \right)\)

3. Tính xác suất

\(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{{\left( {C_{14}^{11} \times C_9^4} \right).\left( {C_{16}^{11} \times C_7^4} \right)}}{{{{(C_{23}^{15})}^2}}} \approx 0,03\).