Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy\(ABCD\) là hình thoi \(\widehat {ABC} = 60^\circ ,SA = 3\sqrt 3 \) và \(SA\) vuông góc với mặt phẳng đáy. Số đo góc nhị diện \(\left[ {S,CD,B} \right] = 60^\circ \). Tính thể tích khối chóp \(SABCD\).

Đáp án: 12,3.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:

Gốc tọa độ \(O\) trùng với điểm \(A(0,0)\).

Trục \(Ox\) chứa đoạn \(AB\).

Trục \(Oy\) chứa đoạn \(AD\).

Theo giả thiết, các đường tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm là trung điểm của\(AD,\,AB\).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là \(2\,{\rm{cm}}\).

Ta có tọa độ các điểm: \(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(D(0;2)\).

Xác định phương trình các đường biên của miền \((R)\)

Miền (R) được giới hạn phía trên bởi hai cung tròn nối tiếp nhau tại điểm \((1;1)\):

Cung thứ nhất: Nằm trên đường tròn tâm \(M(0;1)\) (trung điểm \(AD\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Vì phần miền này nằm phía trên đường \(y = 1\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_1}(x) = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \quad ;x \in [0,1]\)

Cung thứ hai: Nằm trên đường tròn tâm \(N(1;0)\) (trung điểm \(AB\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({(x - 1)^2} + {y^2} = 1\).

Vì phần này nằm trên trục \(Ox\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_2}(x) = \sqrt {1 - {{(x - 1)}^2}} \quad ;x \in [1,2]\)

Tính thể tích khối tròn xoay

Thể tích \(V\) khi quay miền \((R)\) quanh trục \(Ox\) (tức cạnh \(AB\)) là tổng thể tích của hai phần:

\(V = \pi \int_0^1 {{{\left( {{f_1}\left( x \right)} \right)}^2}dx + } \pi \int_1^2 {{{\left( {{f_2}\left( x \right)} \right)}^2}dx = {V_1} + {V_2}} \)

Tính \({V_1}\):

\({V_1} = \pi \int_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^1 {\left( {2 - {x^2} + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx = \pi \left( {\frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}\)

Tính \({V_2}\):

Phần này thực chất là thể tích của nửa khối cầu bán kính R=1.

\({V_2} = \pi \int_1^2 {\left( {1 - {{(x - 1)}^2}} \right)} dx = \frac{{2\pi }}{3}\)

Tổng thể tích:

\(V = {V_1} + {V_2} = \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right) + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2} \approx 12,265{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Đáp án: 6

Gọi \(\overrightarrow v \) là vectơ vận tốc của cabin, ta có \(\overrightarrow v  = k\overrightarrow u \) với \(k > 0\)

\( \Rightarrow k = \frac{{\left| {\overrightarrow v } \right|}}{{\left| {\overrightarrow u } \right|}} = \frac{4}{{\sqrt {{0^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {6^2}} }} = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\) \( \Rightarrow \overrightarrow v  = \frac{{\sqrt {10} }}{5}\overrightarrow u  = \left( {0; - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\frac{{6\sqrt {10} }}{5}} \right)\)

Do đó, \(\overrightarrow {AM}  = t\overrightarrow v  = 5\overrightarrow v  = 5\left( {0; - \frac{{2\sqrt {10} }}{5};\frac{{6\sqrt {10} }}{5}} \right) = \left( {0; - 2\sqrt {10} ;6\sqrt {10} } \right)\)

\( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a + 2 = 0\\b - 1 =  - 2\sqrt {10} \\c - 5 = 6\sqrt {10} \end{array} \right.\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a =  - 2\\b = 1 - 2\sqrt {10} \\c = 5 + 6\sqrt {10} \end{array} \right.\) \( \Rightarrow M\left( { - 2;1 - 2\sqrt {10} ;5 + 6\sqrt {10} } \right)\)

\( \Rightarrow a + 3b + c =  - 2 + 3\left( {1 - 2\sqrt {10} } \right) + \left( {5 + 6\sqrt {10} } \right) = 6\).