Một công viên giải trí đang thực hiện khảo sát để điều chỉnh mức giá vé vào cổng nhằm tối ưu hóa lợi nhuận. Qua số liệu thống kê từ bộ phận kinh doanh, người quản lý xác định rằng: nếu giá vé vào cửa là \(90\) nghìn đồng / người thì sẽ có \(1000\) người đến công viên. Nhưng nếu tăng giá vé thêm \(5\) nghìn đồng / người thì số khách đến công viên sẽ giảm \(100\) người còn nếu giảm giá vé đi \(5\) nghìn đồng / người thì số khách đến công viên sẽ tăng thêm \(100\) người. Biết rằng, trung bình mỗi khách tới công viên còn đem lại \(10\) nghìn đồng cho công viên trong các dịch vụ đi kèm. Như vậy nhà quản lý công viên này nên xác định giá vé vào cổng là bao nhiêu nghìn đồng để doanh thu của công viên là lớn nhất.

Đáp án: 12,3.

Chọn hệ trục tọa độ \(Oxy\) sao cho:

Gốc tọa độ \(O\) trùng với điểm \(A(0,0)\).

Trục \(Ox\) chứa đoạn \(AB\).

Trục \(Oy\) chứa đoạn \(AD\).

Theo giả thiết, các đường tròn có bán kính \(R = 1\) và tâm là trung điểm của\(AD,\,AB\).

Suy ra độ dài cạnh hình vuông là \(2\,{\rm{cm}}\).

Ta có tọa độ các điểm: \(A(0;0)\), \(B(2;0)\), \(D(0;2)\).

Xác định phương trình các đường biên của miền \((R)\)

Miền (R) được giới hạn phía trên bởi hai cung tròn nối tiếp nhau tại điểm \((1;1)\):

Cung thứ nhất: Nằm trên đường tròn tâm \(M(0;1)\) (trung điểm \(AD\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({x^2} + {(y - 1)^2} = 1\).

Vì phần miền này nằm phía trên đường \(y = 1\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_1}(x) = 1 + \sqrt {1 - {x^2}} \quad ;x \in [0,1]\)

Cung thứ hai: Nằm trên đường tròn tâm \(N(1;0)\) (trung điểm \(AB\)), bán kính \(R = 1\).

Phương trình đường tròn: \({(x - 1)^2} + {y^2} = 1\).

Vì phần này nằm trên trục \(Ox\) nên ta có phương trình nhánh trên là:

\(y = {f_2}(x) = \sqrt {1 - {{(x - 1)}^2}} \quad ;x \in [1,2]\)

Tính thể tích khối tròn xoay

Thể tích \(V\) khi quay miền \((R)\) quanh trục \(Ox\) (tức cạnh \(AB\)) là tổng thể tích của hai phần:

\(V = \pi \int_0^1 {{{\left( {{f_1}\left( x \right)} \right)}^2}dx + } \pi \int_1^2 {{{\left( {{f_2}\left( x \right)} \right)}^2}dx = {V_1} + {V_2}} \)

Tính \({V_1}\):

\({V_1} = \pi \int_0^1 {{{\left( {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } \right)}^2}} dx = \pi \int_0^1 {\left( {2 - {x^2} + 2\sqrt {1 - {x^2}} } \right)} dx = \pi \left( {\frac{5}{3} + 2 \cdot \frac{\pi }{4}} \right) = \frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}\)

Tính \({V_2}\):

Phần này thực chất là thể tích của nửa khối cầu bán kính R=1.

\({V_2} = \pi \int_1^2 {\left( {1 - {{(x - 1)}^2}} \right)} dx = \frac{{2\pi }}{3}\)

Tổng thể tích:

\(V = {V_1} + {V_2} = \left( {\frac{{5\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2}} \right) + \frac{{2\pi }}{3} = \frac{{7\pi }}{3} + \frac{{{\pi ^2}}}{2} \approx 12,265{\rm{ (c}}{{\rm{m}}^3}{\rm{)}}\).

Đáp án: \(18\).

Kẻ \(AM \bot CD\).

Vì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(M\) là trung điểm \(CD\).

Khi đó \(\left[ {S,CD,B} \right] = \widehat {SMA}\)

Xét \(SAM\) vuông tại \(A\) có \(AM = \frac{{SA}}{{\tan {{60}^0}}} = \frac{{3\sqrt 3 }}{{\sqrt 3 }} = 3\). Do đó \(AD = 2\sqrt 3 \).

Vì \(\widehat {ABC} = 60^\circ \) nên \(ABC\)là tam giác đều cạnh nên \({S_{ABCD}} = 2{S_{ABC}} = 2.\frac{{{{\left( {2\sqrt 3 } \right)}^2}.\sqrt 3 }}{4} = 6\sqrt 3 \).

Vậy \({V_{SABCD}} = \frac{1}{3}{S_{ABCD}}.SA = \frac{1}{3}.6\sqrt 3 .3\sqrt 3  = 18\).