Một miếng nhôm mỏng có dạng hình tam giác \[ABC\] đều, cạnh là 16 dm. Thợ làm bảng hiệu cắt một hình chữ nhật \[MNPQ\] từ miếng nhôm để làm bảng hiệu cho cửa hàng bán quần áo (với \[M,\,\,N\] thuộc cạnh \[BC\,;\,\,P,\,\,Q\] lần lượt thuộc cạnh \[AC\] và \[AB\]). Hỏi diện tích hình chữ nhật \[MNPQ\] lớn nhất bằng bao nhiêu?

a) Ta có \(OH \bot BC \Rightarrow \Delta HBD\) vuông tại \(H\)\( \Rightarrow \)\(H,\)\(D,\)\(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BD.\) (1)

Ta có \(\widehat {AEB} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

\( \Rightarrow \Delta EBD\) vuông tại \(E\)\( \Rightarrow \)\(E,\)\(D,\)\(B\) cùng thuộc đường tròn đường kính \(BD.\) (2)

Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \(H,\)\(E,\)\(D,\)\(B\) cùng thuộc một đường tròn hay \(BDEH\) là tứ giác nội tiếp

b) Vì \(BDEH\) là tứ giác nội tiếp nên \(\widehat {BEH} = \widehat {BDH}\)

mà \(\widehat {BDH} = \widehat {CBA}\) (cùng phụ với \(\widehat {DBH}\))

Và \(\widehat {ACI} = \widehat {CBA}\) (cùng phụ với \(\widehat {CAB}\)). Từ đó suy ra \(\widehat {ACI} = \widehat {BEH}\)

Xét \(\Delta EHB\) và \(\Delta CIA\) có \(\widehat {ACI} = \widehat {BEH}\) (theo chứng minh trên) và \(\widehat {CAI} = \widehat {EBH}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(CE\)) nên \( \Rightarrow \widehat {EHB} = \widehat {CIA}\)\( \Rightarrow \widehat {EHC} = \widehat {CIE}\)

\( \Rightarrow \frac{{FI}}{{FH}} = \frac{{FC}}{{FE}}\)\( \Rightarrow \widehat {FHI} = \widehat {FEC}\) (3)

Mặt khác: \(\widehat {CBA} = \widehat {FEC}\)(hai góc nội tiếp cùng chắn cung \(AC\)) (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\widehat {FHI} = \widehat {CBA} \Rightarrow HI\,{\rm{//}}\,AB.\)

c)

Do \(OH \bot BC\) và \(\Delta OBC\) cân nên \(OH\) là tia phân giác của góc \(\widehat {COB}\)\( \Rightarrow \Delta OBD = \Delta OCD\left( {c.g.c} \right)\)\( \Rightarrow CD = BD \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {BCD}\)

Mà \(CK\,{\rm{//}}\,BD \Rightarrow \widehat {KCB} = \widehat {CBD}\). Từ đó suy ra \(\widehat {KCB} = \widehat {BCD}\) nên

\(CF,\)\(CA\) lần lượt là phân giác trong và ngoài của \(\Delta DCI\)\( \Rightarrow \frac{{FI}}{{FD}} = \frac{{AI}}{{AD}} \Rightarrow \frac{{FI}}{{AI}} = \frac{{FD}}{{AD}}\) (5)

Đường thẳng vuông góc với \(MF\) tại \(F\) cắt các tia \(MI,\) lần lượt tại \(P\) và \(Q\)

Vì \(PQ\,{\rm{//}}\,AM \Rightarrow \frac{{FQ}}{{AM}} = \frac{{FD}}{{AD}}\) và \(\frac{{FP}}{{AM}} = \frac{{FI}}{{AI}}\) (6)

Từ (5) và (6) suy ra \(\frac{{FQ}}{{AM}} = \frac{{FP}}{{AM}} \Rightarrow FQ = FP.\)

Do \(\Delta PQM\) có \(MF\) vừa là đường cao, vừa là đường trung tuyến nên \(MF\) là tia phân giác của \(\widehat {IMD}.\)

Không gian mẫu của phép thử là:

\(\Omega = \left\{ {\left( {1;2} \right);\left( {1;3} \right);\left( {1;4} \right);\left( {1;5} \right);\left( {2;3} \right);\left( {2;4} \right);\left( {2;5} \right);\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right)} \right\}\)

Không gian mẫu có 10 phần tử nên \(n(\Omega ) = 10\).

Các kết quả có thể xảy ra của phép thử là đồng khả năng.

Có 3 kết quả thuận lợi cho biến cố A là: \(\left( {3;4} \right);\left( {3;5} \right);\left( {4;5} \right)\).

Suy ra \(n(A) = 3\).

Vậy xác suất của biến cố A là: \(P(A) = \frac{{n(A)}}{{n(\Omega )}} = \frac{3}{{10}}\)