Cho phương trình: \({x^2} - 4x - {m^2} + 4m = 0\,\,\left( 1 \right)\).
(a) Giải phương trình với \(m = - 1.\)
(b) Tìm giá trị của \(m\) để phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) sao cho \(A = x_1^2 + x_2^2\) đạt giá trị nhỏ nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Với \[m = - 1\] phương trình đã cho trở thành \[{x^2} - 4x - 5 = 0\]\(\left( 2 \right)\)
Phương trình có các hệ số \(a = 1\), \(b = - 4\), \(c = - 5\).
Ta thấy \(a - b + c = 1 - \left( { - 4} \right) - 5 = 0\).
Do đó phương trình \(\left( 2 \right)\) có các nghiệm là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).
Vậy với \[m = - 1\]thì phương trình \(\left( 2 \right)\) có hai nghiệm phân biệt là \({x_1} = - 1\) và \({x_2} = 5\).
b) Ta có \(\Delta \prime = {\left( { - 2} \right)^2} - \left( { - {m^2} + 4m} \right) = 4 + {m^2} - 4m = {\left( {m - 2} \right)^2} \ge 0\) với mọi \(m\).
Do đó phương trình \(\left( 1 \right)\)có hai nghiệm \({x_1},\,\,{x_2}\) với mọi \(m\).
Theo định lý Viète, ta có: \({x_1} + {x_2} = 4\) và \({x_1}{x_2} = - {m^2} + 4m\).
Ta có \(A = x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{x_1}{x_2} = {4^2} - 2\left( { - {m^2} + 4m} \right) = 16 + 2{m^2} - 8m\).
\( = 2\left( {{m^2} - 4m + 8} \right) = 2\left[ {{{\left( {m - 2} \right)}^2} + 4} \right] = 2{\left( {m - 2} \right)^2} + 8 \ge 8\).
A đạt giá trị nhỏ nhất bằng \(8\).
Dấu “=” xảy ra khi \(m = 2\) (thoả mãn).
Vậy \(m = 2\) thì \(A\) đạt giá trị nhỏ nhất là \(8\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Ta có: \[AC\] là tiếp tuyến của \[\left( O \right)\]suy ra \[AC \bot OC\].
Suy ra \[\Delta ACO\] vuông tại \[C\]
Do đó, ba điểm \[A,C,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\] (1)
Lại có: \[\Delta OED\] cân tại \[O\] có \[OI\] là trung tuyến đồng thời là đường cao.
Suy ra \[OI \bot ED\] nên \[\widehat {OIE} = 90^\circ \], do đó \[\Delta OIA\] vuông tại \[I\].
Do đó, ba điểm \[A,I,O\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\]. (2)
Từ (1) và (2) suy ra bốn điểm \[A,I,O,C\] cùng thuộc đường tròn đường kính \[AO\].
b) Ta có \[AB = AC\] (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)
\[OB = OC\,\,\left( { = R} \right)\]
Suy ra \[OA\] là đường trung trực của \[BC\] nên \[OA \bot BC\] tại \[H\] hay \[\widehat {CHO} = 90^\circ \]
Chứng minh (g.g)
Suy ra \[\frac{{HO}}{{CO}} = \frac{{CO}}{{AO}}\] nên \[OH.OA = O{C^2}\].
c) +) Có: \[\widehat {CED} = 90^\circ \] (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) nên \[\widehat {CEA} = 90^\circ \]
Suy ra \[\Delta CEA\] vuông tại \[E\]
Xét \[\Delta CEA\] vuông tại \[E\] có \[M\] là trung điểm của \[EC\] nên
\[EM = MA = MC = \frac{1}{2}AC.\]
Do đó \[\Delta MEO = \Delta MCO\] (c.c.c)
Suy ra \[\widehat {MEO} = \widehat {MCO} = 90^\circ \]
Do đó \[ME\] là tiếp tuyến của đường tròn (O).
+) Gọi \[P\] là giao điểm của \[BC\] và \[OI\]
Xét \[\Delta OHP\]và \[\Delta OIA\]có: \[\widehat {HOI}\] chung; \[\widehat {OHP} = \widehat {OIA} = 90^\circ \]
Do đó (g.g)
Suy ra \[\frac{{OH}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OA}}\] nên \[OH.OA = OI.OP\]
Mà \[OH.OA = O{C^2}\]; \[OC = OE\,\,\left( { = R} \right)\] nên \[OI.OP = O{E^2}\] suy ra \[\frac{{OE}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OE}}\].
Xét \[\Delta OEP\] và \[\Delta OIE\] có: \[\widehat {EOI}\] chung; \[\frac{{OE}}{{OI}} = \frac{{OP}}{{OE}}\]
Do đó (c.g.c).
Suy ra \[\widehat {OEP} = \widehat {OIE} = 90^\circ \] nên \[EP \bot EO\].
Mà \[ME \bot EO\] nên ba điểm \[M,{\rm{ }}E,{\rm{ }}P\] thẳng hàng.
Do đó, ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\] cắt nhau tại P.
Vậy ba đường thẳng \[ME,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}OI\] đồng quy.
Câu 2
A. \(250^\circ \).
B. \(260^\circ \).
C. \(130^\circ \).
D. \(100^\circ \).
Lời giải
Đáp án đúng: B
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
\(457\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
\(475\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
\(458\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
\(485\pi \left( {c{m^2}} \right)\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(184m\)
B. \(186m\)
C. \(185m\)
D. \(187m\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
\[2834\left( {c{m^2}} \right)\].
\[902\left( {c{m^2}} \right)\].
\[12164\left( {c{m^2}} \right)\].
\[2833,7\left( {c{m^2}} \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\frac{3}{{10}}\).
B. \(\frac{1}{5}\).
C. \(\frac{1}{3}\).
D. \(\frac{1}{6}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập