Tích các nghiệm của phương trình \(\left( {x + 2} \right)\left( {x + 3} \right)\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right) = 504\) bằng bao nhiêu?

Lời giải

Đáp án đúng là: a) Sai.      b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Sai.

Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 2x + 5 = 0\] hay \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\].

Nhận thấy \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\] với mọi \[x\].

Do đó, phương trình \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\] vô nghiệm.

Vậy với \[m = 3\] thì phương trình vô nghiệm.

b) Đúng.

Thay \[x = - 4\] vào phương trình, ta có:

\[{\left( { - 4} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[16 + 8m - 16 + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[{m^2} + 5m + 5 = 0\] (*)

Xét phương trình (*), ta có:\[\Delta = {5^2} - 5.4 = 5 > 0\].

Do đó, ta có \[{m_1} = \frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}\] và \[{m_2} = \frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2}\].

Vậy các giá trị của \[m\] để phương trình có một trong các nghiệm bằng \[ - 4\] là: \[\left\{ {\frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' = 0.\]

Ta có: \[\Delta ' = 0\] suy ra \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 = 0\] hay \[ - m - 1 = 0\] suy ra \[m = - 1\].

Vậy với \[m = - 1\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' > 0.\]

Do đó, \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 > 0\] hay \[ - m - 1 > 0\], suy ra \[m < - 1\].

Đáp án: 2

Vì \(x = - 2\) là nghiệm của phương trình nên ta có:

\(4m + 6\left( {m + 1} \right) + {m^2} - 13m - 4 = 0\)

\(4m + 6m + 6 + {m^2} - 13m - 4 = 0\)

\({m^2} - 3m + 2 = 0\)

\(\left( {m - 1} \right)\left( {m - 2} \right) = 0\)

Suy ra \(m = 1\) hoặc \(m = 2\).

• Với \(m = 1\) thì ta có phương trình \({x^2} - 6x - 16 = 0\).

Giải phương trình, được: \({x^2} - 8x + 2x - 16 = 0\)

                                         \(\left( {x - 8} \right)x + 2\left( {x - 8} \right) = 0\)

                                          \(\left( {x - 8} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = 8\) hoặc \(x = - 2\).

• Với \(m = 2\) thì ta có phương trình \(2{x^2} - 9x - 26 = 0\)

                                                        \(2{x^2} - 13x + 4x - 26 = 0\)

                                                         \(\left( {2x - 13} \right)x + 2\left( {2x - 13} \right) = 0\)

                                                          \(\left( {2x - 13} \right)\left( {x + 2} \right) = 0\)

Suy ra \(x = \frac{{13}}{2}\) hoặc \(x = - 2\).