Phương trình nào sau đây nhận \(x = 1\) và \(x = - 3\) làm nghiệm?       

Lời giải

Đáp án đúng là: a) Sai.      b) Đúng.    c) Đúng.     d) Sai.

a) Sai.

Với \[m = 3\], ta có phương trình: \[{x^2} - 2x + 5 = 0\] hay \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\].

Nhận thấy \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 > 0\] với mọi \[x\].

Do đó, phương trình \[{\left( {x - 1} \right)^2} + 4 = 0\] vô nghiệm.

Vậy với \[m = 3\] thì phương trình vô nghiệm.

b) Đúng.

Thay \[x = - 4\] vào phương trình, ta có:

\[{\left( { - 4} \right)^2} - 2\left( {m - 2} \right).\left( { - 4} \right) + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[16 + 8m - 16 + {m^2} - 3m + 5 = 0\]

\[{m^2} + 5m + 5 = 0\] (*)

Xét phương trình (*), ta có:\[\Delta = {5^2} - 5.4 = 5 > 0\].

Do đó, ta có \[{m_1} = \frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}\] và \[{m_2} = \frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2}\].

Vậy các giá trị của \[m\] để phương trình có một trong các nghiệm bằng \[ - 4\] là: \[\left\{ {\frac{{ - 5 + \sqrt 5 }}{2};\frac{{ - 5 - \sqrt 5 }}{2}} \right\}\].

c) Đúng.

Để phương trình có nghiệm kép thì phương trình \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' = 0.\]

Ta có: \[\Delta ' = 0\] suy ra \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 = 0\] hay \[ - m - 1 = 0\] suy ra \[m = - 1\].

Vậy với \[m = - 1\] thì phương trình có nghiệm kép.

d) Sai.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì \[{x^2} - 2\left( {m - 2} \right)x + {m^2} - 3m + 5 = 0\] có biệt thức \[\Delta ' > 0.\]

Do đó, \[{\left[ { - \left( {m - 2} \right)} \right]^2} - {m^2} + 3m - 5 > 0\] hay \[ - m - 1 > 0\], suy ra \[m < - 1\].

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình bậc hai một ẩn \(a{x^2} + bx + c = 0\,\,\left( {a \ne 0} \right)\,,\)với \(b = 2b'\) và \(\Delta ' = {b'^2} - 4ac.\)

– Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có hai nghiệm phân biệt: \({x_1} = \frac{{ - b' + \sqrt {\Delta '} }}{a};\,\,{x_2} = \frac{{ - b' - \sqrt {\Delta '} }}{a}.\)

– Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình có nghiệm kép \({x_1} = {x_2} = - \frac{{b'}}{a}.\)

– Nếu \(\Delta ' > 0\) thì phương trình vô nghiệm.