Cho tam giác \(ABC\) nhọn, đường cao \(AH\) và nội tiếp đường tròn \(\left( O \right)\) đường kính \(AM\). Gọi \(N\) là giao điểm của \(AH\) với đường tròn \(\left( O \right)\). Khi đó:        

Đáp án đúng là: a) Đúng.     b) Đúng.    c) Sai.                  d) Đúng.

a) Đúng.

Xét tam giác \[ABC\] có \[BD\] và \[CE\] là hai đường cao cắt nhau tại \[H\] nên \[H\] là trực tâm tam giác \[ABC.\]Suy ra  \[AH \bot \;BC\] mà \[AH\,{\rm{//}}\,OM\], do đó \[OM \bot \;BC\].

b) Đúng.

Xét \(\Delta AHF\) có \(O,\,\,M\) lần lượt là trung điểm của \(AF,\,\,HF\) nên \[OM\] là đường trung bình của tam giác \[AHF\], do đó \[AH\,{\rm{//}}\,OM\].

c) Sai.

⦁ Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có \(\widehat {ABF} = 90^\circ \) và \(\widehat {ACF} = 90^\circ \) (các góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Suy ra \[BF \bot \;AB\] và \[CF \bot \;AC\].

Mà \[CE \bot \;AB\] và \[BD \bot \;AC\] nên \[CE\,{\rm{//}}\,BF,\] \[BD\,{\rm{//}}\,CF\].

Suy ra \[BHCF\] là hình bình hành.

Vì \[OM \bot \;BC\] nên \[MH\] không vuông với \[BC\].

Như vậy, hai đường chéo của \[BHCF\] không vuông góc tại trung điểm \[M\] nên \[BHCF\] không là hình thoi.

d) Đúng.

Vì \[BHCF\] là hình bình hành, do đó hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Lại có \[M\] là trung điểm của \[BC\] nên \[M\] cũng là trung điểm của \[HF\] hay \(HM = \frac{{HF}}{2}\).

Đáp án: 30

Kẻ đường kính \[AD\] của đường tròn \(\left( O \right)\).

Xét đường tròn \[\left( O \right)\] có 

\(\widehat {ACB} = \widehat {ADB}\)  (hai góc nội tiếp cùng chắn cung \[AB\])

\(\widehat {ABD} = 90^\circ \) (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).

Xét \[\Delta ACH\] và \[\Delta ADB\] có: \(\widehat {AHC} = \widehat {ABD} = 90^\circ ,\) \(\widehat {ACH} = \widehat {ADB}\)

Do đó $\Delta ACH\backsim \Delta ADB$ (g.g).

Suy ra \(\frac{{AC}}{{AD}} = \frac{{AH}}{{AB}}\) nên \(AD = \frac{{AB \cdot AC}}{{AH}} = \frac{{12 \cdot 15}}{6} = 30\,\,({\rm{cm}}).\)

Vậy đường kính của đường tròn là 30 cm.