Hưởng ứng phong trào thi đua “Xây dựng học thân thiện, học sinh tích cực”, lớp 9A trường THCS Hoa Hồng dự định trồng \(300\)cây xanh. Đến ngày lao động, có \(5\) bạn được Liên Đội triệu tập tham gia chiến dịch an toàn giao thông nên mỗi bạn còn lại phải trồng thêm \(2\) cây mới đảm bảo kế hoạch đặt ra. Gọi số học sinh lớp 9A là \(x\)học sinh. Phương trình của bài toán này là gì?        

Đáp án: 12

Gọi số chiếc xe theo dự định của đoàn xe là \(x\) (chiếc) \(\left( {x \in {\mathbb{N}^*}} \right)\)

Số chiếc xe thực tế chuyên chở là \(x + 6\) (chiếc)

Theo dự định mỗi xe phải chở số tấn hàng là \(\frac{{24}}{x}\) (tấn)

Thực tế mỗi xe phải chở số tấn hàng là \(\frac{{24}}{{x + 6}}\) (tấn)

Do thực tế mỗi xe chở ít hơn dự định là \(2\) tấn nên ta có phương trình:

\(\frac{{24}}{x} - \frac{{24}}{{x + 6}} = 2\)

\(24\left( {x + 6} \right) - 24x = 2\left( {{x^2} + 6x} \right)\)

\({x^2} + 6x - 72 = 0\)

Ta có: \(\Delta ' = {3^2} - 1.\left( { - 72} \right) = 81\)

Suy ra phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\({x_1} = \frac{{ - 3 - \sqrt {81} }}{1} = - 12\) (loại); \({x_1} = \frac{{ - 3 + \sqrt {81} }}{1} = 6\) (thỏa mãn điều kiện)

 Vậy thực tế đoàn xe có \(6 + 6 = 12\) (chiếc xe).

Đáp án: 15

Gọi năng suất dự định là \(x\) (sản phẩm/giờ, \(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Thời gian dự định làm \(70\) sản phẩm là \(\frac{{70}}{x}\) (giờ).

Thời gian thực tế làm \(80\) sản phẩm với năng suất \(x + 5\) (sản phẩm/giờ) là \(\frac{{81}}{{x + 5}}\) (giờ).

Theo đề bài, công nhân hoàn thành trước kế hoạch \(40\) phút (\( = \frac{2}{3}\) giờ).

Ta có phương trình \(\frac{{70}}{x} - \frac{{80}}{{x + 5}} = \frac{2}{3}\)

\(\frac{{35}}{x} - \frac{{40}}{{x + 5}} = \frac{1}{3}\)

\(\frac{{35.3\left( {x + 5} \right)}}{x} - \frac{{40.3.x}}{{x + 5}} = \frac{{1.x.\left( {x + 5} \right)}}{3}\)

\(105\left( {x + 5} \right) - 120x = x\left( {x + 5} \right)\)

\({x^2} + 5x - 105x - 525 + 120x = 0\)

\({x^2} + 20x - 525 = 0.\,\,\,\left( 1 \right)\)

Phương trình \(\left( 1 \right)\) có \(\Delta = {20^2} - 4.\left( { - 525} \right) = 2\,\,500 > 0\) nên phương trình có hai nghiệm phân biệt

\({x_1} = 15\) (thỏa mãn điều kiện); \({x_2} = - 35\)(không thỏa mãn điều kiện)

Vậy năng suất dự định là \(15\) sản phẩm/giờ.