(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức \(A = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}\) và \(B = \frac{{x + 5}}{{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\) với \(x \ge 0,x \ne 1\)

             1) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\)

             2) Chứng minh \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\).

             3) Cho \(P = A:B\). Tìm số tự nhiên \(x\) để \(\left| P \right| > P\).

            1) Thay \(x = 16\) (tmđk) vào biểu thức \(A\) ta được \(\frac{{\sqrt {16}  - 1}}{{\sqrt {16}  + 3}} = \frac{3}{7}\)

             Vậy giá trị của biểu thức \(A\) tại \(x = 16\) là \(\frac{3}{7}\)

             2) \(B = \frac{{x + 5}}{{x - 1}} + \frac{1}{{\sqrt x  + 1}} - \frac{3}{{\sqrt x  - 1}}\)

             \(B = \frac{{x + 5 + \sqrt x  - 1 - 3\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

             \(B = \frac{{x + 5 + \sqrt x  - 1 - 3\sqrt x  - 3}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

             \(B = \frac{{x - 2\sqrt x  + 1}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

             \(B = \frac{{{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)}^2}}}{{\left( {\sqrt x  - 1} \right)\left( {\sqrt x  + 1} \right)}}\)

             \(B = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\) (đpcm)

             3) \(P = AB\)

             \(P = \frac{{\sqrt x  + 1}}{{\sqrt x  + 3}}.\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 1}}\)

             \(P = \frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}}\)

             Để \(\left| P \right| > P\) thì \(P < 0\)

             Do đó \(\frac{{\sqrt x  - 1}}{{\sqrt x  + 3}} < 0\)

             Mà \(\sqrt x  \ge 0\) với \(x \ge 0\) nên \(\sqrt x  + 3 > 0\)

             Vậy \(\sqrt x  - 1 < 0\)

             \(\sqrt x  < 1\)

             \(x < 1\)

             Kết hợp điều kiện \(x \ge 0,x \ne 1\)

             Mà \(x\) là số tự nhiên

             Vậy \(x = 0\) là giá trị cần tìm.