(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{2}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\) với \(x \ge 0\),\(x \ne 4\),\(x \ne 9\).
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).
b) Rút gọn \(B\).
c) Đặt \(M = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(M\) đạt giá trị lớn nhất.
(1,5 điểm)
Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{2}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\) với \(x \ge 0\),\(x \ne 4\),\(x \ne 9\).
a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).
b) Rút gọn \(B\).
c) Đặt \(M = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(M\) đạt giá trị lớn nhất.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
a) Thay \(x = 16\) (thỏa mãn điều kiện) vào biểu thức \(A\):
\(A = \frac{{\sqrt {16} + 3}}{{\sqrt {16} - 2}}\)\( = \frac{{4 + 3}}{{4 - 2}}\)\( = \frac{7}{2}\)
Vậy \(A = \frac{7}{2}\) khi \(x = 16\).
b) \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} - \frac{2}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{x - 9}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x + 3}} + \frac{2}{{\sqrt x - 3}} + \frac{{7\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\)
\(B = \frac{{\sqrt x (\sqrt x - 3) + 2(\sqrt x + 3) + 7\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\)
\(B = \frac{{x - 3\sqrt x + 2\sqrt x + 6 + 7\sqrt x + 3}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} = \frac{{x + 6\sqrt x + 9}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}}\)
\(B = \frac{{{{(\sqrt x + 3)}^2}}}{{(\sqrt x - 3)(\sqrt x + 3)}} = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}\)
c) \(M = \frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 3}}:\frac{{\sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 2}} = \frac{{\sqrt x - 2}}{{\sqrt x - 3}} = 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 3}}\)
\(M\) có giá trị lớn nhất khi \(1 + \frac{1}{{\sqrt x - 3}} > 0\)
\(\frac{1}{{\sqrt x - 3}} > 0\)
\(\sqrt x - 3 > 0\)
\(\sqrt x > 3\)
\(x > 9\)
Mà \(x\) là số nguyên \( \Rightarrow x \ge 10\)
Kết hợp đkxđ \( \Rightarrow x \ge 10\)
Với mọi \(x\) thỏa mãn ta có: \(\sqrt x - 3 \ge \sqrt {10} - 3\)
\( \Rightarrow \frac{1}{{\sqrt x - 3}} \le \frac{1}{{\sqrt {10} - 3}}\)
\( \Rightarrow 1 + \frac{1}{{\sqrt x - 3}} \le 1 + \frac{1}{{\sqrt {10} - 3}} = 4 + \sqrt {10} \).
Dấu “=’ xảy ra khi \(x = 10\)(TM)
Vậy \(x = 10\) để \(M\) có giá trị lớn nhất
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Đang tải chế độ Học...
Dành cho bạn Hot
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Đổi \(350\) nghìn đồng \( = 0,35\) triệu đồng, \(1,38\) tỉ đồng\( = 1380\) triệu đồng
Gọi số áo sơ mi trung bình mỗi tháng một doanh nghiệp đó bán được là \(x\) (chiếc áo) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))
Sau một tháng doanh nghiệp thu được số tiền sau khi bán được \(x\) chiếc áo là: \(0,35x\) (nghìn đồng)
Lợi nhuận doanh nghiệp đó thu được sau một năm là:
\(12.\left( {0,35x - 410} \right) = 4,2x - 4920\) (triệu đồng)
Theo đề bài ta có bất phương trình:
\(4,2x - 4920 \ge 1380\)
\(4,2x \ge 6300\)
\(x \ge 1500\)
Mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\), \(x\) nhỏ nhất
\( \Rightarrow x = 1500\) (TM)
Vậy mỗi tháng doanh nghiệp đó cần bán được ít nhất \(1500\) chiếc áo.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Số lượng hộp quả táo, hộp quả cam và hộp quả quýt nhập về được ký hiệu lần lượt là \(x\),\(\,y\),\(\,z\)
(\(x\),\(y\),\(z \in \mathbb{N}\),\(x \ge 1\),\(y \ge 1\),\(z \ge 1\)).
Chi phí nhập mỗi hộp táo là \(100\,\,000\) đồng, mỗi hộp quả cam là \(200\,\,000\) đồng; mỗi hộp quả quýt là \(100\,\,000\)đồng và tổng chi phí nhập không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có :
\(100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000x + 200{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000y + 100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000z \le 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000\) suy ra \(x + 2y + z \le 10\).
Cửa hàng cần nhập ít nhất \[3\] hộp quả táo và cam cộng lại suy ra \(x + y \ge 3\).
Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là \(200\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả táo, \(300\,\,000\)đồng cho mỗi hộp quả cam và \(100\,\,000\) cho mỗi hộp quả quýt nên ta có biểu thức
\(S = 2x + 3y + z\) (trăm nghìn đồng).
\(S = 2x + 3y + z\)\( = \left( {x + 2y + z} \right) + \left( {x + y} \right)\)
\( \Rightarrow S \le 10 + \left( {x + 2y + z} \right) - y - z\)
\(S \le 10 + 10 - 1 - 1 = 18\) (do \(\,y \ge 1\)\( \Rightarrow - y \le - 1;\,\,z \ge 1\)\( \Rightarrow - z \le - 1\))
Dấu “=” xảy ra khi \[y = z = 1\]; \[x = 7\].
Người bán hàng có được lợi nhuận cao nhất khi nhập \[7\] hộp táo, \[1\] hộp cam và \[1\] hộp quýt.
![Một cốc nước hình trụ có chiều cao \[15\;{\rm{cm}}\], bán (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/quiz_source1/2026/06/picture62-1780561988.png)
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng nhập để xem lời giải
Lưu tiến độ và luyện tập hiệu quả hơn. Hoàn toàn miễn phí!
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Đăng ký để học cùng Vietjack. Hoàn toàn miễn phí!
Bằng việc đăng ký, bạn đồng ý với Điều khoản sử dụng và Chính sách bảo mật của Vietjack.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập