(1,5 điểm)

Cho hai biểu thức: \(A = \frac{{\sqrt x  + 3}}{{\sqrt x  - 2}}\) và \(B = \frac{{\sqrt x }}{{\sqrt x  + 3}} - \frac{2}{{3 - \sqrt x }} + \frac{{7\sqrt x  + 3}}{{x - 9}}\) với \(x \ge 0\),\(x \ne 4\),\(x \ne 9\).

a) Tính giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 16\).

b) Rút gọn \(B\).

c) Đặt \(M = \frac{B}{A}\). Tìm tất cả các giá trị nguyên của \(x\) để \(M\) đạt giá trị lớn nhất.

Đổi \(350\) nghìn đồng \( = 0,35\) triệu đồng, \(1,38\) tỉ đồng\( = 1380\) triệu đồng

Gọi số áo sơ mi trung bình mỗi tháng một doanh nghiệp đó bán được là \(x\) (chiếc áo) (\(x \in {\mathbb{N}^*}\))

Sau một tháng doanh nghiệp thu được số tiền sau khi bán được \(x\) chiếc áo là: \(0,35x\) (nghìn đồng)

Lợi nhuận doanh nghiệp đó thu được sau một năm là:

\(12.\left( {0,35x - 410} \right) = 4,2x - 4920\) (triệu đồng)

Theo đề bài ta có bất phương trình:

\(4,2x - 4920 \ge 1380\)

\(4,2x \ge 6300\)

\(x \ge 1500\)

Mà \(x \in {\mathbb{N}^*}\), \(x\) nhỏ nhất

\( \Rightarrow x = 1500\) (TM)

Vậy mỗi tháng doanh nghiệp đó cần bán được ít nhất \(1500\) chiếc áo.

Số lượng hộp quả táo, hộp quả cam và hộp quả quýt nhập về được ký hiệu lần lượt là \(x\),\(\,y\),\(\,z\)

(\(x\),\(y\),\(z \in \mathbb{N}\),\(x \ge 1\),\(y \ge 1\),\(z \ge 1\)).

Chi phí nhập mỗi hộp táo là \(100\,\,000\) đồng, mỗi hộp quả cam là \(200\,\,000\) đồng; mỗi hộp quả quýt là \(100\,\,000\)đồng và tổng chi phí nhập không được vượt quá \(1\,\,000\,\,000\) đồng nên ta có :

\(100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000x + 200{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000y + 100{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000z \le 1{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} 000\) suy ra \(x + 2y + z \le 10\).

 Cửa hàng cần nhập ít nhất \[3\] hộp quả táo và cam cộng lại suy ra \(x + y \ge 3\).

Lợi nhuận (lãi) thu về từ việc bán mỗi loại trái cây là \(200\,\,000\) đồng cho mỗi hộp quả táo, \(300\,\,000\)đồng cho mỗi hộp quả cam và \(100\,\,000\)  cho mỗi hộp quả quýt nên ta có biểu thức

 \(S = 2x + 3y + z\) (trăm nghìn đồng). 

\(S = 2x + 3y + z\)\( = \left( {x + 2y + z} \right) + \left( {x + y} \right)\)

\( \Rightarrow S \le 10 + \left( {x + 2y + z} \right) - y - z\)

\(S \le 10 + 10 - 1 - 1 = 18\) (do \(\,y \ge 1\)\( \Rightarrow  - y \le  - 1;\,\,z \ge 1\)\( \Rightarrow  - z \le  - 1\))

Dấu “=” xảy ra khi \[y = z = 1\]; \[x = 7\].

Người bán hàng có được lợi nhuận cao nhất khi nhập \[7\] hộp táo, \[1\] hộp cam và \[1\] hộp quýt.