Xét việc tìm họ nguyên hàm của hàm số f(x) = \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\) trên khoảng \(\left( {0;\frac{\pi }{2}} \right)\). Các mệnh đề sau đây đúng hay sai?
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Nguyên hàm lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án: a) Đúng. b) Sai. c) Đúng. d) Đúng.
a) Đúng. Ta có biến đổi: \(\frac{1}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{{{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x}}{{{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}} = \frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}\).
b) Sai. Theo công thức nguyên hàm cơ bản, \(\int {\frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} dx\) = −cot x + C. Do đó một nguyên hàm của g(x) phải là −cot x.
c) Đúng. Áp dụng tính chất nguyên hàm của một tổng:
\(\int f (x)dx = \int {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} + \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)} dx\) = tan x − cot x + C.
d) Đúng. Khi F(x) = tan x − cot x + C,
thay x = \(\frac{\pi }{4}\) ta được \(F\left( {\frac{\pi }{4}} \right)\) = tan \(\frac{\pi }{4}\) − cot \(\frac{\pi }{4}\) + C = 1 − 1 + C = C.
Do đó C = 2, suy ra F(x) = tan x − cot x + 2.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. F(x) = sinx + cosx + C;
B. F(x) = sinx – cosx + C;
C. F(x) = −sinx + cosx + C;
D. F(x) = −sinx – cosx + C.
Lời giải
Đáp án đúng là: B
Ta có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} = - \cos x + \sin x + C\).
Câu 2
A. sinx + 3x2 + C;
B. −sinx + 3x2 + C;
C. sinx + 6x2 + C;
D. −sinx + C.
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Có \(\int {f\left( x \right)dx} = \int {\left( {\cos x + 6x} \right)dx} = \sin x + 3{x^2} + C\).
Câu 3
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = 2\sin \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - {x^3} + C\);
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = \sin 2x - {x^3} + C\);
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = - \sin \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - {x^3} + C\);
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = - 4\sin \left[ {2\left( {x + \pi } \right)} \right] - 6x + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = - 2\cos x + \frac{3}{2}{x^2} + C\);
B. \(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = 2\cos x + 3{x^2} + C\);
C. \(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = {\sin ^2}x + \frac{3}{2}x + C\);
D. \(\int {\left( {2\sin x + 3x} \right)dx} = \sin 2x + \frac{3}{2}{x^2} + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = x - \cos x + C\);
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = x + \sin x + C\);
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = x + \cos x + C\);
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = \cos x + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = \frac{1}{2}\sin x + C\);
B. \(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = \frac{1}{2}\cos x + C\);
C. \(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = - \frac{1}{2}\sin x + C\);
D. \(\int {\cos \frac{x}{2}\sin \frac{x}{2}dx} = - \frac{1}{2}\cos x + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. \(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin x - 2\ln \left| x \right| - 4\cot x + C\);
B. \(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin x - 2\ln x - 4\cot x + C\);
C. \(\int {f\left( x \right)dx} = 3\sin x - 2\ln x + 4\cot x + C\);
D. \(\int {f\left( x \right)dx} = - 3\sin x - 2\ln x - 4\cot x + C\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập