PHẦN 4. (3,0 điểm) Tự luận. (Học sinh trình bày tự luận từ câu 1 đến câu 5).

(0,5 điểm) Một cuộc khảo sát về thói quen sử dụng mạng xã hội của \(45\) học sinh trong một lớp 10A đã cho kết quả như sau: Có \(18\) bạn dùng Instagram và \(24\) bạn dùng TikTok. Ngoài ra, có \(9\) bạn không sử dụng nền tảng nào trong hai nền tảng trên. Hỏi có bao nhiêu học sinh trong lớp 10A sử dụng cả hai mạng xã hội này?

a) ĐÚNG. Ngôi sao 5 cánh có 5 đỉnh nằm đều nhau trên đường tròn. Góc ở tâm tạo bởi một cánh của ngôi sao cân xứng là \(\widehat {BAC} = \frac{{360^\circ }}{{10}} = 36^\circ \) (mỗi cánh tạo bởi hai tam giác bằng nhau chung cạnh đáy từ tâm kéo dài, hoặc góc ở đỉnh tâm của mỗi tam giác nhỏ cấu thành ngôi sao đều bằng nhau, chia góc vòng tròn \(360^\circ \) thành 10 phần bằng nhau).

b) SAI. Theo định lý côsin phải là dấu trừ: \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2AB.AC.{\rm{cos}}\widehat {BAC}\).

c) ĐÚNG. Sử dụng định lý côsin để giải tìm \(AC\):

Ta có \(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}36^\circ \)

\( \Rightarrow {30^2} = {20^2} + A{C^2} - 2 \cdot 20 \cdot AC \cdot {\rm{cos}}36^\circ \)

\(900 = 400 + A{C^2} - 40 \cdot {\rm{cos}}36^\circ \cdot AC\)

\(A{C^2} - 40 \cdot {\rm{cos}}36^\circ \cdot AC - 500 = 0\)

Từ đó suy ra \[AC = 20\cos 36^\circ + \sqrt {{{\left( {20\cos 36^\circ } \right)}^2} + 500} \approx 43,8{\rm{\;}}\left( {{\rm{cm}}} \right)\].

d) SAI. Bán kính đường tròn ngoại tiếp logo chính là độ dài đoạn \(AC\).

Diện tích hình tròn: \[{S_{{\rm{tr\`o n}}}} = \pi \cdot A{C^2}\].

Diện tích hình ngôi sao gồm 10 tam giác nhỏ bằng tam giác \(ABC\):

\({S_{{\rm{ng\^o i\;sao}}}} = 10 \cdot {S_{\Delta ABC}}\)\( = 10 \cdot \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{sin}}36^\circ \approx 100 \cdot {\rm{sin}}36^\circ \cdot AC\).

Diện tích phần tô đậm ở nền: \[S = {S_{{\rm{tr\`o n}}}} - {S_{{\rm{ng\^o i\;sao}}}} \approx 3448,4{\rm{\;}}\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\].

a) ĐÚNG. Nhìn từ trái sang phải dọc trục \(Ox\), đồ thị bắt đầu tại điểm có hoành độ \(x = - 3\) và kết thúc tại điểm có hoành độ \(x = 4\). Do đó tập xác định là \(D = \left[ { - 3;4} \right]\).

b) ĐÚNG. Nhìn từ dưới lên trên dọc trục \(Oy\), điểm thấp nhất của đồ thị có tung độ \(y = - 2\) (tại \(x = - 1\)) và điểm cao nhất của đồ thị có tung độ \(y = 3\) (tại \(x = 2\)). Do đó tập giá trị là \(\left[ { - 2;3} \right]\).

c) SAI. Trên khoảng \(\left( { - 1;2} \right)\), đồ thị đi lên nên hàm số đồng biến trên \(\left( { - 1;2} \right)\). Khoảng \(\left( { - 2;3} \right)\) không phải khoảng đồng biến của hàm số (vì trên \(\left( { - 2; - 1} \right)\) đồ thị đi xuống, hàm số nghịch biến).

d) SAI. Xét trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\):

Tại \(x = 0 \Rightarrow y = 0\).

Trên đoạn \(\left[ {0;2} \right]\), đồ thị đi lên từ \(\left( {0;0} \right)\) đến cao nhất tại điểm \(\left( {2;3} \right) \Rightarrow M = 3\).

Trên đoạn \(\left[ {2;4} \right]\), đồ thị đi xuống từ \(\left( {2;3} \right)\) đến thấp nhất tại điểm \(\left( {4; - 1} \right) \Rightarrow m = - 1\).

Vậy trên đoạn \(\left[ {0;4} \right]\), giá trị lớn nhất là \(M = 3\) và giá trị nhỏ nhất là \(m = - 1\).

Tính tổng bình phương: \({M^2} + {m^2} = {3^2} + {\left( { - 1} \right)^2} = 9 + 1 = 10 \ne 13\). Do đó mệnh đề phát biểu \({M^2} + {m^2} = 13\) là SAI.