Hàm số f(x) liên tục trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\) và thỏa mãn hệ thức f(x) + 2f(−x) = 3cosx với mọi x thuộc \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\). Tính tích phân \(I = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f (x)dx\).
Câu hỏi trong đề: Các dạng bài tập Tích phân lớp 12 (có lời giải) !!
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Lấy tích phân hai vế của hệ thức trên đoạn \(\left[ { - \frac{\pi }{2};\frac{\pi }{2}} \right]\), ta có:
\(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f (x)dx + 2\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = \int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx\) (1).
Ta có tính chất của tích phân trên khoảng đối xứng: \(\int_{ - a}^a f ( - x)dx = \int_{ - a}^a f (x)dx\).
Do đó \(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} f ( - x)dx = I\). Lại có \(\int_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}} 3 \cos xdx = \left. {\left( {3\sin x} \right)} \right|_{ - \frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}\) = 3(1 − (−1)) = 6.
Thay vào (1), ta được: I + 2I = 6 Þ 3I = 6 => I = 2.
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. f(1) = 4047;
B. f(1) = −1;
C. f(1) = 1;
D. f(1) = −4047.
Lời giải
Đáp án đúng là: C
\(\int\limits_0^1 {f'\left( x \right)dx} = 2024\)\( \Leftrightarrow \left. {f\left( x \right)} \right|_0^1 = 2024\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) - f\left( 0 \right) = 2024\)\( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) = 2024 + f\left( 0 \right) = 2024 - 2023 = 1\).
Câu 2
A. \(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \);
B. \(F\left( b \right) - F\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \);
C. \(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {F\left( x \right)dx} \);
D. \(f'\left( b \right) - f'\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \).
Lời giải
Đáp án đúng là: A
Ta có \(f\left( b \right) - f\left( a \right) = \int\limits_a^b {f'\left( x \right)dx} \).
Câu 3
A. 4;
B. 11;
C. 5;
D. 2.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = F\left( b \right) - F\left( a \right)\);
B. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 1\);
C. \(\int\limits_a^a {f\left( x \right)dx} = 0\);
D. \(\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} = - \int\limits_b^a {f\left( x \right)dx} \).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 5
A. 1;
B. 3;
C. −1;
D. −3.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 7
A. 1;
B. −1;
C. 3;
D. \(\frac{7}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập