Gọi \(a,b,c,r,R,S\) lần lượt là độ dài ba cạnh, bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và diện tích của \(\Delta ABC\). Khẳng định nào sau đây là đúng?

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABC\) để tính độ dài cạnh \(BC\):

\(B{C^2} = A{B^2} + A{C^2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot {\rm{cos}}\widehat {BAC}\)

\(B{C^2} = {16^2} + {12^2} - 2 \cdot 16 \cdot 12 \cdot {\rm{cos}}{60^ \circ }\)

\(B{C^2} = 256 + 144 - 384 \cdot \frac{1}{2} = 400 - 192 = 208 \Rightarrow BC = \sqrt {208} = 4\sqrt {13} {\rm{\;km}}\)

Theo giả thiết, điểm \(M\) thuộc đoạn \(BC\) và \(MC = 3MB \Rightarrow MB = \frac{1}{4}BC = \frac{{4\sqrt {13} }}{4} = \sqrt {13} {\rm{\;km}}\).

Từ tam giác \(ABC\), ta có:

\({\rm{cos}}B = \frac{{A{B^2} + B{C^2} - A{C^2}}}{{2 \cdot AB \cdot BC}} = \frac{{{{16}^2} + 208 - {{12}^2}}}{{2 \cdot 16 \cdot 4\sqrt {13} }} = \frac{{256 + 208 - 144}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{{320}}{{128\sqrt {13} }} = \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)

Áp dụng định lí côsin trong tam giác \(ABM\) để tính \(AM\):

\(A{M^2} = A{B^2} + M{B^2} - 2 \cdot AB \cdot MB \cdot {\rm{cos}}B\)

\(A{M^2} = {16^2} + {\left( {\sqrt {13} } \right)^2} - 2 \cdot 16 \cdot \sqrt {13} \cdot \frac{5}{{2\sqrt {13} }}\)

\(A{M^2} = 256 + 13 - 16 \cdot 5 = 269 - 80 = 189\)

\( \Rightarrow AM = \sqrt {189} = 3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\)

Vậy độ dài đoạn thẳng \(AM\) là \(3\sqrt {21} {\rm{\;km}}\) (xấp xỉ \(13,75{\rm{\;km}}\)).

Đáp án:

Vì \(\widehat {AMB} = {30^ \circ } < \widehat {ANB} = {45^ \circ }\) nên điểm \(N\) nằm giữa \(A\) và \(M\). Do đó \(MN = AM - AN = 500{\rm{m}}\).

Xét các tam giác vuông \(GAB\) tại \(A\):

Trong tam giác vuông \(GAB\) vuông tại \(A\):

\(AN = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{AB}}{1} = AB\)

\(AM = \frac{{AB}}{{{\rm{tan}}{{30}^ \circ }}} = \frac{{AB}}{{\frac{{\sqrt 3 }}{3}}} = AB\sqrt 3 \)

Ta có: \(AM - AN = MN \Rightarrow AB\sqrt 3 - AB = 500\)

\(AB\left( {\sqrt 3 - 1} \right) = 500 \Rightarrow AB = \frac{{500}}{{\sqrt 3 - 1}} \approx 683,01{\rm{m}}\)

Làm tròn đến hàng đơn vị ta được \(683{\rm{m}}\).

Đáp số: 683