Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(2; 5; 4), C(0; 2; 0).

Khi đó:

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.        b) Đúng.               c) Đúng.                     d) Sai.

a) Đúng. Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow v = (1;3; - 2n)}\end{array}} \right.\) .

Để hai vecto \(\overrightarrow v \), \(\overrightarrow {AB} \) cùng phương ⇔ \(\frac{1}{1} = \frac{3}{3} = \frac{{ - 2n}}{1}\) ⇔ n = \(\frac{{ - 1}}{2}\).

b) Đúng. Gọi D(a; b; c) là một đỉnh của hình bình hành ABCD.

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow {DC} = ( - a;2 - b; - c)}\end{array}} \right.\).

Để ABCD là hình bình hành ⇔ \(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{ - a = 1}\\{2 - b = 3}\\{ - c = 1}\end{array}} \right.\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{a = - 1}\\{b = - 1}\\{c = - 1}\end{array}} \right.\).

Vậy D(−1; −1; −1).

c) Đúng. Ta có: điểm E(x; y; −2).

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {BC} = ( - 2; - 3; - 4)}\\{\overrightarrow {BE} = (x - 2;y - 5; - 6)}\end{array}} \right.\).

Để B, C, E thẳng hàng ⇔ \(\overrightarrow {BC} \), \(\overrightarrow {BE} \) cùng phương

⇔ \(\frac{{x - 2}}{{ - 2}} = \frac{{y - 5}}{{ - 3}} = \frac{{ - 6}}{{ - 4}} = \frac{3}{2}\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 1}\\{y = \frac{1}{2}}\end{array}} \right.\) ⇒ x + y = \(\frac{{ - 1}}{2}\).

d) Sai. Ta có M ∈ (Oxy) ⇒ M(m; n; 0), với \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{\overrightarrow {AB} = (1;3;1)}\\{\overrightarrow {AM} = (m - 1;n - 2; - 3)}\end{array}} \right.\).

Để A, B, M thẳng hàng ⇔ \(\overrightarrow {AB} \) , \(\overrightarrow {AM} \) cùng phương

⇔ \(\frac{{m - 1}}{1} = \frac{{n - 2}}{3} = \frac{{ - 3}}{1}\) ⇔ \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{m = - 2}\\{n = - 7}\end{array}} \right.\) ⇒ M(−2; −7; 0).