Với mọi x, y > 0, xét các khẳng định sau: i) [ left( {x + y} right) left( { frac{1}{x} + frac{1}{y}} right) ge 4 ]. ii) x2 + y3 ≤ 0. iii) [ left( {x + y} right) left( { frac{1}{x} + frac{1}{y}} right...

Câu hỏi:

07/06/2026 58

Với mọi x, y > 0, xét các khẳng định sau:

i) \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\]. ii) x² + y³ ≤ 0. iii) \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) < 4\].

Hỏi có bao nhiêu khẳng định đúng trong các khẳng định trên?

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Đáp án:

Hướng dẫn giải

Đáp án: 1

a) Ta có:

\[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) = 1 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x} + 1 = 2 + \frac{x}{y} + \frac{y}{x}\].

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với hai số x, y dương có: \[\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ge 2\sqrt {\frac{x}{y} \cdot \frac{y}{x}} = 2\]

Do đó, \[\left( {x + y} \right)\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right) \ge 4\].

Dấu “=” xảy ra khi x = y.

b) Vì, x, y > 0 nên x² + y³ > 0.

Do đó, khẳng định này sai.

Vậy có khẳng định a) là đúng.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu (a² + b²)² – ab(a + b)²

= a⁴ + 2a²b² + b⁴ – a³b – 2a²b² – ab³

= a⁴ + b⁴ – a³b – ab³

= a³(a – b) + b³ (b – a)

= (a – b)(a³ – b³)

= (a – b)²(a² + ab + b²) ≥ 0.

Do đó, (a² + b²)² – ab(a + b)² ≥ 0.

Vậy (a² + b²)² ≥ ab.(a + b)².

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Hướng dẫn giải

Xét hiệu A = a² + b² + 1 – ab – a – b

2A = 2a² + 2b² + 2 – 2ab – 2a – 2b

2A = (a² – 2ab + b²) + (a² – 2a + 1) + (b² – 2b + 1)

2A = (a – b)² + (a – 1)² + (b – 1)² ≥ 0

Suy ra A ≥ 0 hay a² + b² + 1 – ab – a – b ≥ 0.

Vậy a² + b² + 1 ≥ ab + a + b (đpcm).

Câu 3