Cho hai tập hợp \(A = \left\{ {1;2;4;8;12} \right\}\) và \(B = \left\{ { - 1;0;8;10} \right\}\). Tập hợp \(A \cup B\) có bao nhiêu phần tử?

Áp dụng các công thức lượng giác cơ bản:

1. \({\rm{tan}}\left( {{{90}^ \circ } - \alpha } \right) = {\rm{cot}}\alpha = \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\).

2. Biến đổi phần tử số:

\({\rm{tan}}\alpha - {\rm{sin}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} - {\rm{sin}}\alpha = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{1}{{{\rm{cos}}\alpha }} - 1} \right) = {\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)\)

Thay vào biểu thức \(A\), ta có:

\(A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {\frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }}} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)

\(A = \frac{{{\rm{sin}}\alpha \cdot \left( {1 - {\rm{cos}}\alpha } \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha \cdot \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}} \cdot \frac{{{\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{sin}}\alpha }}\)

Rút gọn lượng \({\rm{sin}}\alpha \) và \({\rm{cos}}\alpha \) ở cả tử số lẫn mẫu số:

\(A = \frac{{1 - {\rm{cos}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = \frac{{ - \left( {{\rm{cos}}\alpha - 1} \right)}}{{{\rm{cos}}\alpha - 1}} = - 1\)

Chọn đáp án: B.

Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lý hàm số sin, ta có hệ thức:

\(\frac{{AC}}{{{\rm{sin}}B}} = \frac{{AB}}{{{\rm{sin}}C}} \Rightarrow AC = \frac{{AB \cdot {\rm{sin}}B}}{{{\rm{sin}}C}}\)

Thay các số liệu vào công thức:

\(AC = \frac{{5 \cdot {\rm{sin}}{{30}^ \circ }}}{{{\rm{sin}}{{45}^ \circ }}} = \frac{{5 \cdot \frac{1}{2}}}{{\frac{{\sqrt 2 }}{2}}} = \frac{5}{{\sqrt 2 }} = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\)

Chọn đáp án: C.