Để tính độ dài \(MN\) của một đường hầm đi xuyên núi, người ta dựng một đường gấp khúc \(ABC\) ở chân núi, trong đó mỗi vị trí \(A\) và \(C\) đều cách lối vào hầm \(1{\rm{\;km}}\) (\(AM = CN = 1{\rm{\;km}}\)). Giả sử các số liệu được cho như trong hình vẽ dưới (\(AB = 3,6{\rm{\;km}},BC = 4,2{\rm{\;km}},\hat B = {140^ \circ }\)). Độ dài \(MN\) của đường hầm xuyên núi đó là bằng bao nhiêu kilomet? (làm tròn kết quả đến hàng phần trăm).

Trước hết, xét đường thẳng ranh giới miền nghiệm \(d:3x + 2y = 6\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\). Vậy \(d\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;3} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\). Vậy \(d\) cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).

Dựa vào dữ kiện đồ thị trong đề thi, chỉ có Hình 2 vẽ đường thẳng đi qua chính xác hai điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\).

Tiếp theo, ta xác định miền nghiệm bằng cách thử tọa độ của gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(3x + 2y \ge 6\):

\(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge 6\,\,{\rm{(V\^o \;l\'y )}}\)

Do đó gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) không chứa gốc tọa độ \(O\) (tính cả đường thẳng \(d\)). Đối chiếu với đồ thị, Hình 2 thể hiện đúng phần không bị gạch là miền không chứa gốc tọa độ.

Chọn đáp án: B.

Xét phương trình của tập \(A\):

\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + m - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình (1) được hai nghiệm: \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\). Khi giao với tập số dương \(B = \left( {0; + \infty } \right)\), nghiệm \(x = - 2\) bị loại, ta giữ lại được nghiệm \(x = 2\).

Để tập hợp \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử, phương trình bậc hai (2) bắt buộc phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 (gọi là \({x_1},{x_2}\)). Khi đó tập giao là \(A \cap B = \left\{ {2;{x_1};{x_2}} \right\}\).

Theo giả thiết, tích của 3 phần tử bằng 24:

\(2 \cdot {x_1} \cdot {x_2} = 24 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = 12\)

Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình (2), tích hai nghiệm là: \({x_1} \cdot {x_2} = m - 3\). Từ đó ta có:

\(m - 3 = 12 \Rightarrow m = 15\)

Kiểm tra lại: Thay \(m = 15\) vào phương trình (2) được \({x^2} - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\) (Thỏa mãn 2 nghiệm dương phân biệt và khác 2).

Đáp số: 15