Cho hai tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{R}|\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0\} \) và \(B = \left( {0; + \infty } \right)\) (với m là tham số). Tìm điều kiện của m để \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử và tích của 3 phần tử đó bằng 24.
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Xét phương trình của tập \(A\):
\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + m - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Giải phương trình (1) được hai nghiệm: \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\). Khi giao với tập số dương \(B = \left( {0; + \infty } \right)\), nghiệm \(x = - 2\) bị loại, ta giữ lại được nghiệm \(x = 2\).
Để tập hợp \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử, phương trình bậc hai (2) bắt buộc phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 (gọi là \({x_1},{x_2}\)). Khi đó tập giao là \(A \cap B = \left\{ {2;{x_1};{x_2}} \right\}\).
Theo giả thiết, tích của 3 phần tử bằng 24:
\(2 \cdot {x_1} \cdot {x_2} = 24 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = 12\)
Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình (2), tích hai nghiệm là: \({x_1} \cdot {x_2} = m - 3\). Từ đó ta có:
\(m - 3 = 12 \Rightarrow m = 15\)
Kiểm tra lại: Thay \(m = 15\) vào phương trình (2) được \({x^2} - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\) (Thỏa mãn 2 nghiệm dương phân biệt và khác 2).
Đáp số: 15
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Câu 1
A. Hệ (1) là hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
B. Điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình (1).
C. Miền nghiệm của hệ (1) là một miền tam giác \(ABC\) (như hình vẽ dưới đây) với các đỉnh \(A\left( {0;2} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {2;3} \right)\).
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) trên miền xác định bởi hệ (1) bằng 1.
Lời giải
Ý a) ĐÚNG: Cả ba bất phương trình đều ở dạng bậc nhất hai biến số \(x,y\).
Ý b) SAI: Thay tọa độ điểm \(M\left( {2; - 1} \right)\) vào bất phương trình thứ hai: \(2 - 2\left( { - 1} \right) = 4 \le - 4\) (Vô lý). Điểm \(M\) không thuộc miền nghiệm.
Ý c) ĐÚNG: Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng ranh giới bằng cách giải các hệ phương trình đôi một, ta xác định được đúng 3 đỉnh là \(A\left( {0;2} \right),B\left( {1;4} \right),C\left( {2;3} \right)\). Miền nghiệm chính là tam giác \(ABC\).
Ý d) ĐÚNG: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(F = y - x\) sẽ đạt được tại một trong ba đỉnh của tam giác:
Tại \(A\left( {0;2} \right)\): \({F_A} = 2 - 0 = 2\)
Tại \(B\left( {1;4} \right)\): \({F_B} = 4 - 1 = 3\)
Tại \(C\left( {2;3} \right)\): \({F_C} = 3 - 2 = 1\)
So sánh các giá trị, giá trị nhỏ nhất của biểu thức là 1, đạt được tại điểm \(C\).
Lời giải
Đáp án:
Bước 1: Xét tam giác \(ABC\), áp dụng định lý hàm số cos để tính khoảng cách thẳng từ \(A\) đến \(C\):
\(A{C^2} = A{B^2} + B{C^2} - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot {\rm{cos}}B\)
\(A{C^2} = {\left( {3,6} \right)^2} + {\left( {4,2} \right)^2} - 2 \cdot 3,6 \cdot 4,2 \cdot {\rm{cos}}{140^ \circ }\)
\(A{C^2} = 12,96 + 17,64 - 30,24 \cdot \left( { - 0,766044} \right) \approx 30,6 + 23,1652 = 53,7652\)
\( \Rightarrow AC = \sqrt {53,7652} \approx 7,3325{\rm{\;km}}\)
Bước 2: Theo hình học sơ đồ thẳng hàng, đoạn thẳng \(AC\) được tạo thành từ: \(AM + MN + CN\). Do đó:
\(MN = AC - AM - CN\)
Thay số với \(AM = CN = 1{\rm{\;km}}\):
\(MN \approx 7,3325 - 1 - 1 = 5,3325{\rm{\;km}}\)
Làm tròn đến hàng phần trăm ta được kết quả: \(5,33{\rm{\;km}}\).
Đáp số: 5,33
Câu 3
A. \(AC = 5\sqrt 2 \).
B. \(AC = \frac{{5\sqrt 3 }}{2}\).
C. \(AC = \frac{{5\sqrt 2 }}{2}\).
D. \(AC = \frac{{5\sqrt 6 }}{2}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. Hình biểu diễn của tập trên trục số là:
![Cho các tập hợp A=(−∞;1),B=[−2;3) và C=[0;5]. Xác định tính đúng, sai của các mệnh đề sau: (ảnh 1)](https://video.vietjack.com/upload2/images/1780829400/image5.png)
B. \(A \cap B = \left[ { - 2;1} \right)\).
C. \(C \setminus A = \left( {1;5} \right]\).
D. \(\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left[ { - 2;5} \right]\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập