Cho hai tập hợp \(A = \{ x \in \mathbb{R}|\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0\} \) và \(B = \left( {0; + \infty } \right)\) (với m là tham số). Tìm điều kiện của m để \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử và tích của 3 phần tử đó bằng 24.

Ý a) ĐÚNG: Tập hợp \(B = \left[ { - 2;3} \right)\) biểu diễn nửa khoảng trên trục số sẽ lấy dấu ngoặc vuông ở số \( - 2\) và dấu ngoặc tròn ở số \(3\).

Ý b) ĐÚNG: Phần giao của hai tập hợp \(A\) và \(B\) lấy phần chung:

\(A \cap B = \left( { - \infty ;1} \right) \cap \left[ { - 2;3} \right) = \left[ { - 2;1} \right)\)

Ý c) SAI: Tìm hiệu của hai tập hợp \(C\) và \(A\):

\(C \setminus A = \left[ {0;5} \right] \setminus \left( { - \infty ;1} \right) = \left[ {1;5} \right]\)

Vì số 1 không thuộc khoảng \(A\) nên khi trừ đi tập \(A\), giá trị số 1 vẫn giữ lại trong tập hiệu, do đó tại vị trí số 1 phải dùng dấu ngoặc vuông \(\left[ {1;5} \right]\). Đề bài ghi ngoặc tròn \(\left( {1;5} \right]\) nên sai.

Ý d) ĐÚNG: Thực hiện phép toán hợp với tập \(C\):

\(\left( {A \cap B} \right) \cup C = \left[ { - 2;1} \right) \cup \left[ {0;5} \right] = \left[ { - 2;5} \right]\).

Đáp án:

Từ dữ kiện bài toán, lập hệ bất phương trình ràng buộc với điều kiện \(x \ge 0,y \ge 0\):

1. Nguyên liệu: \(2x + 3y \le 160\)

2. Thời gian: \(30x + 15y \le 1200 \Rightarrow 2x + y \le 80\)

Hàm mục tiêu tính lợi nhuận là: \(L\left( {x;y} \right) = 40000x + 30000y\). Miền nghiệm của hệ là đa giác có các đỉnh: \(O\left( {0;0} \right)\), \(A\left( {40;0} \right)\), \(B\left( {0;\frac{{160}}{3}} \right)\) và giao điểm \(C\left( {20;40} \right)\) của hai đường ranh giới.

Tính giá trị lợi nhuận tại các đỉnh:

\(L\left( O \right) = 0\) đồng

\(L\left( A \right) = 40000 \cdot 40 = 1.600.000\) đồng

\(L\left( B \right) = 30000 \cdot \frac{{160}}{3} = 1.600.000\) đồng

\(L\left( C \right) = 40000 \cdot 20 + 30000 \cdot 40 = 2.000.000\) đồng

Lợi nhuận lớn nhất đạt được tại điểm \(C\left( {20;40} \right)\). Tổng khối lượng sản phẩm cần sản xuất là:

\(x + y = 20 + 40 = 60{\rm{\;kg}}\)

Đáp số: 60