Một xưởng sản xuất hai loại sản phẩm. Mỗi kg sản phẩm loại I cần \(2{\rm{\;kg}}\) nguyên liệu và 30 giờ, đem lại mức lợi nhuận 40000 đồng. Mỗi kg sản phẩm loại II cần \(3{\rm{\;kg}}\) nguyên liệu và 15 giờ, đem lại mức lợi nhuận 30000 đồng. Xưởng có \(160{\rm{\;kg}}\) nguyên liệu và tối đa 1200 giờ làm việc. Giả sử \(x,y\) lần lượt là số kg sản phẩm loại I và loại II mà xưởng sản xuất được. Hỏi xưởng cần sản xuất tổng bao nhiêu kilogam hai sản phẩm trên để thu mức lãi cao nhất?

Trước hết, xét đường thẳng ranh giới miền nghiệm \(d:3x + 2y = 6\). Tìm giao điểm của đường thẳng \(d\) với hai trục tọa độ \(Ox\) và \(Oy\):

Cho \(x = 0 \Rightarrow y = 3\). Vậy \(d\) cắt trục tung tại điểm \(\left( {0;3} \right)\).

Cho \(y = 0 \Rightarrow x = 2\). Vậy \(d\) cắt trục hoành tại điểm \(\left( {2;0} \right)\).

Dựa vào dữ kiện đồ thị trong đề thi, chỉ có Hình 2 vẽ đường thẳng đi qua chính xác hai điểm \(\left( {2;0} \right)\) và \(\left( {0;3} \right)\).

Tiếp theo, ta xác định miền nghiệm bằng cách thử tọa độ của gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) vào bất phương trình \(3x + 2y \ge 6\):

\(3 \cdot 0 + 2 \cdot 0 = 0 \ge 6\,\,{\rm{(V\^o \;l\'y )}}\)

Do đó gốc tọa độ \(O\left( {0;0} \right)\) không thuộc miền nghiệm. Miền nghiệm của bất phương trình là nửa mặt phẳng bờ \(d\) không chứa gốc tọa độ \(O\) (tính cả đường thẳng \(d\)). Đối chiếu với đồ thị, Hình 2 thể hiện đúng phần không bị gạch là miền không chứa gốc tọa độ.

Chọn đáp án: B.

Xét phương trình của tập \(A\):

\(\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} - 7x + m - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} - 4 = 0\,\,\,\left( 1 \right)\\{x^2} - 7x + m - 3 = 0\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)

Giải phương trình (1) được hai nghiệm: \(x = 2\) hoặc \(x = - 2\). Khi giao với tập số dương \(B = \left( {0; + \infty } \right)\), nghiệm \(x = - 2\) bị loại, ta giữ lại được nghiệm \(x = 2\).

Để tập hợp \(A \cap B\) có đúng 3 phần tử, phương trình bậc hai (2) bắt buộc phải có 2 nghiệm dương phân biệt khác 2 (gọi là \({x_1},{x_2}\)). Khi đó tập giao là \(A \cap B = \left\{ {2;{x_1};{x_2}} \right\}\).

Theo giả thiết, tích của 3 phần tử bằng 24:

\(2 \cdot {x_1} \cdot {x_2} = 24 \Rightarrow {x_1} \cdot {x_2} = 12\)

Áp dụng định lý Vi-ét cho phương trình (2), tích hai nghiệm là: \({x_1} \cdot {x_2} = m - 3\). Từ đó ta có:

\(m - 3 = 12 \Rightarrow m = 15\)

Kiểm tra lại: Thay \(m = 15\) vào phương trình (2) được \({x^2} - 7x + 12 = 0 \Rightarrow x = 3\) hoặc \(x = 4\) (Thỏa mãn 2 nghiệm dương phân biệt và khác 2).

Đáp số: 15