Cho hai biểu thức \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} - \frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 2}}\) và \({\rm{B}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}\).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để biểu thức S = AB có giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán 2026 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện: x ≥ 0, x ¹1.

\({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} - \frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right) + \sqrt {\rm{x}} - 1 - 3\sqrt {\rm{x}} }}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{\rm{x}} + 2\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 1 - 3\sqrt {\rm{x}} }}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{\rm{x}} - 1}}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).

Vậy \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\) với x ≥ 0, x ¹1.

b) Ta có: \({\rm{S}} = {\rm{AB}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \cdot \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 2 + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} = {\rm{1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).

Ta thấy \(\sqrt {\rm{x}} + 2 \ge 2\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Suy ra, \(\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \le \frac{1}{2}\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Do đó, \(1 + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \le \frac{3}{2}\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 0.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Thu gọn, chỉ ra phần hệ số và tìm bậc của các đơn thức sau:

a) 5xy²(–3y)².

b) x²yz(–2xy)³.

c) (–2x²y)².8x³yz³.

d) (–2xy³)². (–2xyz)³.

e) (–5xy³z). (–4x²)².

f) (2x²y³)². (–2xy).

Xem đáp án

Lời giải

a) 5xy²(–3y)² = 5xy². 9y² = (5.9).x.(y².y²) = 45xy⁴. Hệ số: 45, bậc: 5.

b) x²yz(–2xy)³ = x²yz.(–8)x³y³ = (–8)(x². x³)(y.y³)z = –8x⁵y⁴z. Hệ số: –8, bậc 10.

c) (–2x²y)². 8x³yz³ = 4x⁴y². 8x³yz³ = (4.8)(x⁴. x³)(y². y).z³ = 32x⁷y³z³.

Hệ số: 32, bậc: 13.

d) (–2xy³)². (–2xyz)³ = 4x²y⁶.(–8)x³y³z³= [4.(–8)](x². x³)(y⁶. y³).z³ = –32x⁵y⁹z³.

Hệ số: –32, bậc: 17.

e) (–5xy³z). (–4x²)² = –5xy³z. 16x⁴ = [(–5).16](x. x⁴)y³.z = –80x⁵y³z.

Hệ số: –80, bậc: 9.

f) (2x²y³)². (–2xy) = 4x⁴y⁶.(–2)xy = [4.(–2)](x⁴.x)(y⁶.y) = –8x⁵y⁷.

Hệ số: –8, bậc: 12.

Câu 2

Hình thang cân ABCD có AB //CD và AB < CD, hai đường cao AH, BK.

a) Chứng minh DAHD = DBKC.

b) Chứng minh AB = HK

Xem đáp án

Lời giải

Hình thang cân ABCD có AB //CD và AB < CD, hai đường cao AH, BK. a) Chứng minh DAHD = DBKC. b) Chứng minh AB = HK (ảnh 1)

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 3