Cho hai biểu thức \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} - \frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 2}}\) và \({\rm{B}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}\).

a) Rút gọn biểu thức A.

b) Tìm giá trị của x để biểu thức S = AB có giá trị lớn nhất.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: 5000 câu trắc nghiệm tổng hợp Toán 2026 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Điều kiện: x ≥ 0, x ¹1.

\({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} }}{{\sqrt {\rm{x}} - 1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} - \frac{{3\sqrt {\rm{x}} }}{{{\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 2}}\)

\( = \frac{{\sqrt {\rm{x}} \left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right) + \sqrt {\rm{x}} - 1 - 3\sqrt {\rm{x}} }}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{\rm{x}} + 2\sqrt {\rm{x}} + \sqrt {\rm{x}} - 1 - 3\sqrt {\rm{x}} }}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{{\rm{x}} - 1}}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}}\)

\( = \frac{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt {\rm{x}} - 1} \right)\left( {\sqrt {\rm{x}} + 2} \right)}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).

Vậy \({\rm{A}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\) với x ≥ 0, x ¹1.

b) Ta có: \({\rm{S}} = {\rm{AB}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \cdot \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 1}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 3}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} = \frac{{\sqrt {\rm{x}} + 2 + 1}}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} = {\rm{1}} + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}}\).

Ta thấy \(\sqrt {\rm{x}} + 2 \ge 2\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Suy ra, \(\frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \le \frac{1}{2}\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Do đó, \(1 + \frac{1}{{\sqrt {\rm{x}} + 2}} \le \frac{3}{2}\) với mọi x ≥ 0, x ¹1.

Dấu “=” xảy ra khi x = 0 (thỏa mãn).

Vậy giá trị lớn nhất của S bằng \(\frac{3}{2}\) khi x = 0.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Hình thang cân ABCD có AB //CD và AB < CD, hai đường cao AH, BK.

a) Chứng minh DAHD = DBKC.

b) Chứng minh AB = HK

Xem đáp án

Lời giải

Hình thang cân ABCD có AB //CD và AB < CD, hai đường cao AH, BK. a) Chứng minh DAHD = DBKC. b) Chứng minh AB = HK (ảnh 1)

a) Vì tứ giác ABCD là hình thang cân nên AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Xét DAHD và DBKC có: \(\widehat {{\rm{AHD}}} = \widehat {{\rm{BKC}}} = 90^\circ \), AD = BC, \(\widehat {\rm{D}} = \widehat {\rm{C}}\).

Do đó, DAHD = DBKC (ch – gn).

b) Vì DAHD = DBKC nên AH = BK. Lại có: AH // BK (cùng song song với DC).

Do đó, tứ giác ABKH là hình bình hành. Suy ra AB = HK.

Câu 2

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D trên cạnh BC. Hạ DM vuông góc với AB tại M, DN vuông góc với AC tại N.

a) Tứ giác AMDN là hình gì?

b) Gọi AH là đường cao tam giác ABC. Tính góc MHN.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D trên cạnh BC. Hạ DM vuông góc với AB tại M, DN vuông góc với AC tại N. a) Tứ giác AMDN là hình gì? b) Gọi AH là đường cao tam giác ABC. Tính góc MHN (ảnh 1)

a) Tam giác ABC vuông tại A nên \(\widehat {{\rm{BAC}}} = 90^\circ \).

Vì DM ^ AB tại M, DN ^ AC tại N nên \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DNC}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{DMB}}} = 90^\circ \).

Tứ giác AMDN có: \(\widehat {{\rm{DNA}}} = \widehat {{\rm{DMA}}} = \widehat {{\rm{NAM}}} = 90^\circ \) nên tứ giác AMDN là hình chữ nhật.

b) Gọi E là giao điểm của AD và MN, mà tứ giác ADMN là hình chữ nhật nên EN = EM = ED = AE.

Vì tam giác AHD vuông tại H, HE là trung tuyến ứng với cạnh huyền AD nên ED = AE = EH. Suy ra: ED = AE = EH = EN = EM.

Tam giác NHM có: HE là đường trung tuyến của tam giác và EH = EN = EM nên tam giác NHM vuông tại H. Suy ra \(\widehat {{\rm{NHM}}} = 90^\circ \).

Câu 3