Cho tam giác ABC có ba cạnh \(AB = c,\,BC = a,\,CA = b\) thỏa mãn \({a^3} = {b^3} + {c^3}\). Chứng minh rằng góc \(\widehat {BAC}\) nhọn và \(\widehat {BAC} > {60^0}\).
Quảng cáo
Trả lời:
Giải bởi Vietjack
Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}a,\,b,c > 0\\{a^3} = {b^3} + {c^3}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < b < a\\0 < c < a\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}0 < \frac{b}{a} < 1\\0 < \frac{c}{a} < 1\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2}\\{\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2}\end{array} \right.\)
\( \Rightarrow {\left( {\frac{b}{a}} \right)^3} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^3} < {\left( {\frac{b}{a}} \right)^2} + {\left( {\frac{c}{a}} \right)^2} \Rightarrow \frac{{{b^3} + {c^3}}}{{{a^3}}} < \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}}\)
\( \Rightarrow 1 < \frac{{{b^2} + {c^2}}}{{{a^2}}} \Rightarrow {b^2} + {c^2} - {a^2} > 0 \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} > 0\)
Suy ra góc \(\widehat {BAC}\) nhọn.
\({a^3} = {b^3} + {c^3} = \left( {b + c} \right)\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right) > a\left( {{b^2} - bc + {c^2}} \right)\) \( \Rightarrow {a^2} > {b^2} - bc + {c^2} \Rightarrow \frac{{{b^2} + {c^2} - {a^2}}}{{2bc}} < \frac{1}{2} \Rightarrow \cos A < \cos {60^0}\)
Vậy \(\widehat {BAC} > {60^0}\).
Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay
CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ
Lời giải
a) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}5 - 2x \ge 0\\1 + 3x \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \le \frac{5}{2}\\x \ge - \frac{1}{3}\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định \(D = \left[ { - \frac{1}{3};\frac{5}{2}} \right]\).
b) Hàm số xác định khi \(\left\{ \begin{array}{l}x + 4 \ge 0\\{x^2} + 3x - 10 \ne 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x \ge - 4\\x \ne - 5\\x \ne 2\end{array} \right.\).
Vậy tập xác định \(D = \left[ { - 4; + \infty } \right)\backslash \left\{ 2 \right\}\).
Lời giải
Ta có: \( - 5 \le x \le 3\) mà \(x \in \mathbb{N}\) nên \(A = \left\{ {0;1;2;3} \right\}\)
Ta có: \(\left( {2x - 3{x^2}} \right)\left( {{x^2} - x - 2} \right) = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}2x - 3{x^2} = 0\\{x^2} - x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = 0\\x = \frac{2}{3}\\x = - 1\\x = 2\end{array} \right.\) Mà \(x \in \mathbb{Z} \Rightarrow B = \left\{ { - 1;0;2} \right\}\).
Ta có: \(A \cap B = \left( { - 5;3} \right] \Rightarrow \) \({C_\mathbb{R}}\left( {A \cap B} \right) = \mathbb{R}\backslash \left( { - 5;3} \right] = \left( { - \infty ; - 5} \right] \cup \left( {3; + \infty } \right).\)
Câu 3
A. \(\frac{4}{{17}}\).
B. \(\frac{1}{{17}}\).
C. \(\frac{2}{{17}}\).
D. \(\frac{5}{{17}}\).
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 4
A. \(S = - 9.\)
B. \(S = 24.\)
C. \(S = \frac{9}{2}.\)
D. \(S = - 5.\)
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Câu 6
A. \[\left[ { - 4\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\].
B. \[\left( { - 4\,;\, + \infty } \right)\backslash \left\{ {\frac{1}{3}} \right\}\].
C. \[\left[ { - 4\,; + \infty } \right)\].
D. \[\left( {\frac{1}{3};\, + \infty } \right)\].
Lời giải
Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.
Nhắn tin Zalo
Hỏi bài tập