Cho hai biểu thức \[A = \frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 3}}{{x\sqrt x - 1}}\] và \[B = \frac{{x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}\]. Biết rằng biểu thức P = A : (1 – B). Tìm x để \[P \le 1\].

Do P = A : (1 – B) nên

\[P = \left( {\frac{1}{{\sqrt x - 1}} - \frac{{x - \sqrt x + 3}}{{x\sqrt x - 1}}} \right):\left( {1 - \frac{{x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\] với \[x > 1\]

\[P = \left( {\frac{{1\left( {x + \sqrt x + 1} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}} - \frac{{\left( {x - \sqrt x + 3} \right)}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\left( {\frac{{x + \sqrt x + 1}}{{x + \sqrt x + 1}} - \frac{{x + 2}}{{x + \sqrt x + 1}}} \right)\]

\[P = \left( {\frac{{x + \sqrt x + 1 - x + \sqrt x - 3}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}}} \right):\frac{{\sqrt x - 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\]

\[P = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}}:\frac{{\sqrt x - 1}}{{x + \sqrt x + 1}}\]

\[P = \frac{{2\sqrt x - 2}}{{\left( {\sqrt x - 1} \right)\left( {x\sqrt x - 1} \right)}} \cdot \frac{{x + \sqrt x + 1}}{{\sqrt x - 1}}\]

\[P = \frac{2}{{\sqrt x - 1}}\] với \[x > 1\]

Để \[P \le 1\] hay \[\frac{2}{{\sqrt x - 1}} \le 1 \Leftrightarrow \frac{2}{{\sqrt x - 1}} - 1 \le 0 \Leftrightarrow \frac{{ - \sqrt x + 3}}{{\sqrt x - 1}} \le 0\]

Đến đây xảy ra hai trường hợp:

Trường hợp 1: \[\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x + 3 \le 0\\\sqrt x - 1 \ge 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x \le - 3\\\sqrt x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \ge 3\\\sqrt x \ge 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \ge 9\]

Trường hợp 2: \[\left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x + 3 \ge 0\\\sqrt x - 1 \le 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \sqrt x \ge - 3\\\sqrt x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\sqrt x \le 3\\\sqrt x \le 1\end{array} \right. \Leftrightarrow x \le 1\]. Kết hợp với điều kiện của x thì \[0 \le x \le 1\]

Vậy \[0 \le x \le 1\] hoặc \[x \ge 9\] để \[P \le 1\]