Cho đường thẳng d: y = 3x + 2 và đường thằng d’: y = – x + 2. Kiểm tra xem hai đường thẳng có cắt nhau hay không?

Đổi 1 giờ 40 phút = \[\frac{5}{3}\] giờ

Gọi vận tốc của xe lửa đi từ Huế đến Hà Nội là x (km/h, x > 0)

Vì vận tốc của xe thứ hai đi từ Hà Nội vào Huế lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h nên vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h)

Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km có nghĩa quãng đường xe lửa thứ nhất đi được là 645 – 300 = 345 (m)

Thời gian xe lứa thứ nhất đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{345}}{x}\] (giờ)

Thời gian xe lứa thứ hai đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{300}}{{x + 5}}\] (giờ)

Sau đó 1 giờ 40 phút hai xe lửa gặp nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{{300}}{{x + 5}} + \frac{5}{3} = \frac{{345}}{x}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{300.3x}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{5x\left( { + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{345.3\left( {x + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5x\left( {x + 5} \right) = 1035\left( {x + 5} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5{x^2} + 25x = 1035x + 5175\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 22x - 1035 = 0\]

Giải phương trình ta được x₁ = – 23 (loại) và x₂ = 45 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là 45 + 5 = 50 km/h.

Gọi thời gian làm việc riêng của người thứ nhất là x (giờ, x > 0)

Trong một giờ người thứ nhất là được \[\frac{1}{x}\] (công việc)

Hai người cùng làm chung một công việc trong 24 giờ thì xong vậy hai làm chung thì trong một giờ làm được \[\frac{1}{{24}}\].

Suy ra trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}\] (công việc)

Do năng suất người thứ nhất bằng \[\frac{3}{2}\] năng suất người thứ hai nên ta có phương trình:

\[\frac{1}{x} = \frac{3}{2}\left( {\frac{1}{{24}} - \frac{1}{x}} \right)\]

\[ \Leftrightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{{16}} - \frac{3}{{2x}}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{16}}{{16x}} = \frac{x}{{16x}} - \frac{{24}}{{16x}}\]

\[ \Leftrightarrow 16 = x - 24\]

\[ \Leftrightarrow x = 40\] (thỏa mãn)

Vậy người thứ nhất làm cả công việc thì hoàn thành sau 40 giờ.

Trong một giờ người thứ hai làm được \[\frac{1}{{24}} - \frac{1}{{40}} = \frac{1}{{60}}\].

Người thứ hai làm cả công việc thì hoàn thành sau 60 giờ.