Xác định các hệ số a và b để đường thẳng y = ax + b cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng – 2 và song song voứi đường thẳng OA, trong đó O là gốc tọa độ và điểm \[A\left( {\sqrt 2 ;1} \right)\].

Đổi 1 giờ 40 phút = \[\frac{5}{3}\] giờ

Gọi vận tốc của xe lửa đi từ Huế đến Hà Nội là x (km/h, x > 0)

Vì vận tốc của xe thứ hai đi từ Hà Nội vào Huế lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h nên vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h)

Hai xe gặp nhau tại một ga cách Hà Nội 300km có nghĩa quãng đường xe lửa thứ nhất đi được là 645 – 300 = 345 (m)

Thời gian xe lứa thứ nhất đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{345}}{x}\] (giờ)

Thời gian xe lứa thứ hai đi đến lúc gặp nhau là \[\frac{{300}}{{x + 5}}\] (giờ)

Sau đó 1 giờ 40 phút hai xe lửa gặp nhau nên ta có phương trình:

\[\frac{{300}}{{x + 5}} + \frac{5}{3} = \frac{{345}}{x}\]

\[ \Leftrightarrow \frac{{300.3x}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} + \frac{{5x\left( { + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}} = \frac{{345.3\left( {x + 5} \right)}}{{3x\left( {x + 5} \right)}}\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5x\left( {x + 5} \right) = 1035\left( {x + 5} \right)\]

\[ \Leftrightarrow 900x + 5{x^2} + 25x = 1035x + 5175\]

\[ \Leftrightarrow {x^2} - 22x - 1035 = 0\]

Giải phương trình ta được x₁ = – 23 (loại) và x₂ = 45 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc xe lửa thứ nhất là 45 km/h và vận tốc xe lửa thứ hai là 45 + 5 = 50 km/h.

a) Khi m = 3 ta đươc (d): y = (3 – 2)x + 3 = x + 3.

- Cho x = 0 suy ra y = 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua A(0; 3)

- Cho y = 0 suy ra x = – 3. Vậy đồ thị hàm số đi qua B(– 3; 0).

Xác định hai điểm A, B trên hệ trục tọa độ và vẽ đường thẳng đi qua A, B.

Đồ thị hàm số là đường thẳng AB có dạng như hình vẽ cắt hai trục Oy, Ox lần lượt tại hai điểm A và B.

Dựa vào hình vẽ, ta xét tam giác ABC có:

Tính ra \[OA = \left| {{y_A}} \right| = \left| { - 3} \right| = 3\]; \[OB = \left| {{x_B}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Kẻ OH ⊥ (d) tại H và khẳng định OH là khoảng cách từ (O) đến (d).

Khi đó: \[\frac{1}{{O{H^2}}} = \frac{1}{{O{A^2}}} + \frac{1}{{O{B^2}}} \Leftrightarrow \frac{1}{{{3^2}}} + \frac{1}{{{3^2}}} = \frac{2}{9}\]

Suy ra \[O{H^2} = \frac{9}{2} \Rightarrow OH = \sqrt {O{H^2}} = \sqrt {\frac{9}{2}} = \frac{{3\sqrt 2 }}{2}\]

Vậy khoảng cách từ (O) đến (d) là \[\frac{{3\sqrt 2 }}{2}\].

b) Gọi M và N lần lượt là giao điểm của (d) với Ox và Oy.

Thì \[M\left( {\frac{{ - 3}}{{m - 2}};0} \right)\] và N(0; 3).

Tính ra \[OM = \left| {{x_M}} \right| = \left| {\frac{{ - 3}}{{m - 2}}} \right| = \frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}}\]; \[ON = \left| {{y_N}} \right| = \left| 3 \right| = 3\].

Để đường thẳng (d) tạo với hai trục Ox và Oy một tam giác OMN vuông cân nên OM = ON.

Suy ra \[\frac{3}{{\left| {m - 2} \right|}} = 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{3}{{m - 2}} = \frac{{3\left( {m - 2} \right)}}{{m - 2}}\\\frac{3}{{2 - m}} = \frac{{3\left( {2 - m} \right)}}{{2 - m}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3 = 3m - 6\\3 = 6 - 3m\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3m = 9\\3m = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 3\\m = 1\end{array} \right.\]

Vậy m = 3; m = 1 để đường thẳng (d) tạo với hai trục Ox và Oy một tam giác vuông cân.