Cho hình vuông ABCD. Lần lượt lấy các điểm M, N, P thuộc các cạnh AB, BC, CD thỏa mãn: MA NB PC. Từ N kẻ đường vuông góc với PM cắt AD tại Q. Chứng minh rằng MQ $⊥$ PQ.

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho hình vuông ABCD. Lần lượt lấy các điểm M, N, P thuộc các cạnh AB, BC, CD thỏa mãn: MA NB PC. Từ N kẻ đường vuông góc với PM cắt AD tại Q. Chứng minh rằng MQ vuông góc PQ. (ảnh 1)

Có MA = NB = PC MB = NC = PD.

Do đó ∆BMN = ∆CNP (cạnh góc vuông – cạnh góc vuông)

Khi đó: MN = NP

Lại có: NQ MP (giả thiết)

Suy ra NQ là đường trung trực của MP.

Gọi O là tâm của hình vuông nên O = NQ MP

Hay O là trung điểm của MP và NQ nên MNPQ là hình vuông.

Suy ra MQ PQ.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình chữ nhật ABCD có AB > 2BC, trên cạnh AB lấy điểm M sao cho BC = AM, trên tia CB lấy điểm N sao cho CN = BM, CM cắt AN tại P, trên cạnh CD lấy điểm E sao cho CE = CB. Đường thẳng qua A vuông góc với AE cắt đường thẳng qua N vuông góc với NE tại điểm F. Gọi K là giao điểm của EN với PC, L là giao điểm của EF với AN. Tính tỉ số diện tích của hai tam giác NKL và NEP.

Xem đáp án

Lời giải

Ta có AENF là hình vuông và AN cắt EF tại L

Nên NLE vuông cân tại L.

Hạ LG NE (G NE), khi đó G là trung điểm của NE và LG = $\frac{1}{2}$NE (*)

Ta chứng minh được AMCE là hình bình hành:

AB // CD, M AB, E CD AM // CE

Lại có: AM = BC = CE nên AMCE là hình bình hành.

Suy ra AE // CM

Mà AE EN nên CM EN hay PK KN ∆PKN vuông cân tại K (do $\widehat {PNE} = 45^\circ $)

Suy ra PK = NK (**)

+ ∆NKL có LG NK ${S_{NKL}} = \frac{1}{2}LG.NK$

+ ∆NPE có PK NE ${S_{NPE}} = \frac{1}{2}PK.NE$

Do đó kết hợp (*) và (**) ${S_{NKL}} = \frac{1}{2}{S_{NPE}} \Rightarrow \frac{{{S_{NKL}}}}{{{S_{NPE}}}} = \frac{1}{2}$.

Câu 2

Hai chiếc xe cùng xuất phát tại một thời điểm tới cùng một địa điểm. Xe đầu tiên tới điểm đến trước xe thứ hai 3 giờ. Tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ. Hỏi mỗi xe đi hết quãng đường trong bao lâu?

Xem đáp án

Lời giải

Gọi x (giờ) là thời gian hoàn thành quãng đường của xe đầu tiên (x > 0)

Thời gian hoàn thành quãng đường của xe thứ hai là x + 3 (giờ).

Theo giả thiết, tổng thời gian hoàn thành quãng đường của cả hai xe là 9 giờ:

x + (x + 3) = 9

2x = 6

x = 3 (TMĐK)

Vậy xe thứ nhất và xe thứ hai đi hết khoảng thời gian lần lượt là 3 giờ và 6 giờ.

Câu 3