Cho tam giác ABC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Chứng minh ba điểm G, H, O là ba điểm thẳng hàng.

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Gọi I là trung điểm của BC, D nằm trên (O) sao cho AD là đường kính.

Ta có $\widehat {DCA} = \widehat {DBA} = 90^\circ $

Xét tứ giác BHCD ta có :

+ BH // DC ( AC)

+ CH // DB ( AB)

Do đó tứ giác BHCD là hình bình hành .

Khi đó H, I, D thẳng hàng và IH = ID.

Ta lại có :

+ OI = $\frac{1}{2}$AH (OI là đường trung bình tam giác DAH ) (1)

+ GI = $\frac{1}{2}$GA (2)

+ \[\widehat {HAG} = \widehat {GIO}\] (so le trong) (3)

Do đó ∆GAH đồng dạng ∆GIO (c.g.c)

Khi đó $\widehat {HGA} = \widehat {IGO}$

Do đó \[\widehat {HGA}\] và \[\widehat {IGO}\] là hai góc đối đỉnh nên ta suy ra H, G, O thẳng hàng.

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Xem đáp án

Lời giải

Gọi H là giao điểm của AO và BC.

Cung AB và AC bằng nhau, suy ra AO BC.

BD BC CD là đường kính của đường tròn.

C, O, D thẳng hàng

Xét ∆ACO có: \[\cos \widehat {COH} = \frac{{A{O^2} + C{O^2} - A{C^2}}}{{2.AO.CO}} = \frac{{9 + 9 - 4}}{{2.3.3}} = \frac{7}{9}\]

\[HO = CO.\cos \widehat {COH} = \frac{7}{3}\]

Vì HO là đường trung bình của ∆BCD

\[BD = 2.HO = \frac{{14}}{3} \Rightarrow \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{{\frac{{14}}{3}}}{{2.3}} = \frac{7}{9}\]

Ta thấy $\widehat {BDA} = \widehat {CDA}$ (chắn hai cung bằng nhau AB và AC)

Suy ra AD là phân giác của góc D.

Do đó \[\frac{{{S_{BKD}}}}{{{S_{KCD}}}} = \frac{{BK}}{{KC}} = \frac{{BD}}{{CD}} = \frac{7}{9}\].

Câu 2

Xem đáp án

Lời giải

Vì MQ và NP lần lượt là đường trung bình của hai tam giác BEF và BDF nên

MQ // NP // BF và MQ = NP = $\frac{1}{2}$BF.

Suy ra MNPQ là hình bình hành.

Lại có MN là đường trung bình của tam giác DEF nên MN // AD.

Mà AD BF nên MN MQ

Khi đó tứ giác MNPQ là hình chữ nhật.

Câu 3