Cho ∆ABC có BD và CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C và BD = CE. H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng ∆ABC cân và AH là phân giác \(\widehat {BAC}\).

Câu hỏi trong đề: 10000 câu trắc nghiệm tổng hợp môn Toán 2025 mới nhất (có đáp án) !!

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Cho tam giác ABC có BD và CE lần lượt là các đường cao hạ từ B, C và BD = CE. H là giao điểm của BD và CE. Chứng minh rằng ∆ABC cân và AH là phân giác góc BAC. (ảnh 1)

Xét ∆DBA và ∆ECA có:

\(\widehat {CEA} = \widehat {ECA} = 90^\circ \);

CE = BD (gt);

\(\widehat A\) là góc chung.

Do đó ∆DBA = ∆ECA (g.c.g)

Suy ra AB = AC (hai cạnh tương ứng)

Do đó ∆ABC cân tại A.

Xét ∆ABC có BD AC, CE AB.

Mà H là giao điểm của CE và BD nên H là trực tâm của ∆ABC.

Suy ra AH là đường cao của ∆ABC.

Mà ∆ABC cân tại A nên AH là phân giác của \(\widehat {BAC}\).

Hot: 1000+ Đề thi cuối kì 2 file word cấu trúc mới 2026 Toán, Văn, Anh... lớp 1-12 (chỉ từ 60k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho hình bên, biết \(\widehat A = 50^\circ \) và \(\widehat B = 140^\circ \), Ax // By’. Chứng minh \(\widehat {AOB} = 90^\circ \).

Xem đáp án

Lời giải

Cho hình bên, biết góc A = 50 độ và góc B = 140 độ, Ax // By’. Chứng minh góc AOB = 90 độ (ảnh 1)

Kẻ qua O đường thẳng Oz // Ax

Ta có: \(\widehat {AOz} = \widehat {xAO} = 50^\circ \) (so le trong)

Lại có: \(\widehat {OBy} = 140^\circ \)

\( \Rightarrow \widehat {OBy} = 180^\circ - 140^\circ = 40^\circ \)

Mặt khác ta lại có: Oz // Ax ⇒ Oz // By

\( \Rightarrow \widehat {BOz'} = \widehat {OBy} = 40^\circ \) (góc so le trong)

Do đó: \(\widehat {AOz} = \widehat {z'OB} = 50^\circ + 40^\circ = 90^\circ \) hay \(\widehat {AOB} = 90^\circ \).

Vậy \(\widehat {AOB} = 90^\circ \) (đpcm).

Câu 2

Cho ∆ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M ≠ A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N; từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh ba đường thẳng AB, CP, MN cùng đi qua một điểm.

Xem đáp án

Lời giải

Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên cạnh AC lấy điểm M bất kì (M khác A, C). Qua M kẻ đường thẳng vuông góc với BC tại N; từ C kẻ đường thẳng vuông góc với BM tại P. Chứng minh ba đường thẳng AB, CP, MN (ảnh 1)

Gọi D là giao điểm của các đường thẳng AB và CP.

Xét ∆DBC ta có:

AB AC ⇒ AC BD, (1)

CP BP ⇒ BP DC (2)

Từ (1) và (2) suy ra CA và BP là các đường cao của ∆DBC.

Mà {M} = BP CA nên M là trực tâm ∆DBC ⇒ DM BC.

Lại có MN BC nên M, N, D thẳng hàng ⇒ AB, MN và CP cùng đi qua điểm D.

Câu 3