Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \[h\left( m \right)\] của mực nước trong kênh tính theo thời gian \[t\left( h \right)\] được cho bởi công thức \[h = 3\sin \left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\]. Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \[t = \frac{a}{b}\]. Tính \[a.b\]?

Câu

Nội dung

Điểm

1.a

(0.5 điểm)

Ta có: \(S \in (SAC) \cap (SBD)\)

0,25

GỌI \(O = AC \cap BD\)

\(O = AC \cap BD\)

\(\begin{array}{l}O \in AC,AC \subset (SAC) \Rightarrow O \in (SAC)\\O \in BD,BD \subset (SBD) \Rightarrow O \in (SBD)\\ \Rightarrow O \in (SAC) \cap (SBD)\end{array}\)

\(SO = (SAC) \cap (SBD)\)

0,25

1.b

(0.5 điểm)

Trong (ABCD) \(J = MN \cap AB\)

\[\begin{array}{l}J \in MN,MN \subset (PMN) \Rightarrow J \in (MAC)\\J \in AB,AB \subset (SAB) \Rightarrow E \in (SBA)\\ \Rightarrow J \in (PMN) \cap (SAB)\end{array}\]

0,25

GỌI \(H = MN \cap AC\)

Trong (SAC) gọi \(I = HP \cap SA\)

\(\begin{array}{l}I \in HP,HP \subset (PMN) \Rightarrow I \in (MAC)\\I \in SA,SA \subset (SBA) \Rightarrow I \in (SBA)\\ \Rightarrow I \in (PMN) \cap (SAB)\\ \Rightarrow IJ = (PMN) \cap (SAB)\end{array}\)

0,25

Câu

Nội dung

Điểm

1.a

(0.5 điểm)

Ta có: \(P = \left( {1 - \sin \alpha } \right)\left( {1 + \sin \alpha } \right) = 1 - {\sin ^2}\alpha \)

0,25

\( = {\cos ^2}\alpha  = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }} = \frac{1}{{1 + {{\left( {\frac{2}{3}} \right)}^2}}} = \frac{9}{{13}}\)

0,25

1.b

(0.5 điểm)

Từ giải thiết \(\tan \alpha  = \frac{2}{3}\) với \[\left( {\,\,\pi  < \alpha \, < \,\frac{{3\pi }}{2}} \right)\]ta có\(\cos \alpha  =  - \,\sqrt {\frac{9}{{13}}}  =  - \frac{{3\sqrt {13} }}{3}\)

\(\sin \alpha  = \tan \alpha .\cos \alpha  =  - \frac{2}{3}.\frac{{3\sqrt {13} }}{{13}} =  - \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}\)

và \(\sin 2\alpha  = 2\sin \alpha .\,\cos \alpha  = \,2.\left( { - \frac{{2\sqrt {13} }}{{13}}} \right).\left( { - \frac{{3\sqrt {13} }}{{13}}} \right) = \frac{{12}}{{13}};\,\cos 2\alpha \, = \,2{\cos ^2}\alpha \, - \,1\, = \,\frac{5}{{13}}\)

0,25

\(\cos \left( {\frac{\pi }{3} - 2\alpha } \right) = \cos \frac{\pi }{3}.\cos 2\alpha  + \sin \frac{\pi }{3}.\sin 2\alpha  = \frac{{12\sqrt 3  + 5}}{{26}}\)

0,25