Góc có số đo \(108^\circ \) đổi ra radian là:

Mực nước \(h\) đạt giá trị cao nhất (lớn nhất) khi và chỉ khi giá trị của hàm số sin đạt lớn nhất, tức là:

                 \({\rm{sin}}\left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\).

Giải phương trình lượng giác trên, ta được:

\[\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 4 \cdot \left( {\frac{1}{6} + 2k} \right) = \frac{2}{3} + 8k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì thời gian \(t \ge 0\), để tìm thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất và dương), ta chọn \(k = 0\) nên \(t = \frac{2}{3}\) (giờ).

Theo đề bài, thời gian ngắn nhất có dạng tối giản \(t = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 2,b = 3\).

Tính giá trị của biểu thức tích \(a \cdot b\), ta có: \(a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6\).

Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) chứa đường thẳng \(DM\).

Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\):

Điểm chung thứ nhất là \(S\).

Trong mặt đáy \(ABCD\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng \(DM\) cắt giao tuyến \(SO\) tại một điểm (gọi là \(I\)).

Vì \(I \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(I \in \left( {SAC} \right)\). Vậy \(I\) chính là giao điểm của \(DM\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Chọn B.