Rút gọn biểu thức \(M = {\rm{cos}}\left( {x - y} \right){\rm{cos}}y - {\rm{sin}}\left( {x - y} \right){\rm{sin}}y\).

Mực nước \(h\) đạt giá trị cao nhất (lớn nhất) khi và chỉ khi giá trị của hàm số sin đạt lớn nhất, tức là:

                 \({\rm{sin}}\left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) = 1\).

Giải phương trình lượng giác trên, ta được:

\[\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{2} + k2\pi \]\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{2} - \frac{\pi }{3} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow \frac{{\pi t}}{4} = \frac{\pi }{6} + k2\pi \)\( \Leftrightarrow t = 4 \cdot \left( {\frac{1}{6} + 2k} \right) = \frac{2}{3} + 8k\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

Vì thời gian \(t \ge 0\), để tìm thời gian ngắn nhất (nhỏ nhất và dương), ta chọn \(k = 0\) nên \(t = \frac{2}{3}\) (giờ).

Theo đề bài, thời gian ngắn nhất có dạng tối giản \(t = \frac{a}{b} \Rightarrow a = 2,b = 3\).

Tính giá trị của biểu thức tích \(a \cdot b\), ta có: \(a \cdot b = 2 \cdot 3 = 6\).

a) Sai. Công thức đúng phải là \(1 + {\rm{co}}{{\rm{t}}^2}x = \frac{1}{{{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}x}}\) (với \({\rm{sin}}x \ne 0\)).

b) Sai. Công thức nhân đôi đúng là \({\rm{sin}}4x = 2{\rm{sin}}2x{\rm{cos}}2x = 4{\rm{sin}}x{\rm{cos}}x{\rm{cos}}2x\).

c) Đúng. Áp dụng công thức cộng sin: \({\rm{sin}}\left( {2x + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{sin}}2x{\rm{cos}}\frac{\pi }{3} + {\rm{cos}}2x{\rm{sin}}\frac{\pi }{3} = \frac{1}{2}{\rm{sin}}2x + \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{cos}}2x\).

d) Sai. Ta biến đổi vế trái: \(\frac{1}{2}{\rm{sin}}x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}{\rm{cos}}x = {\rm{sin}}x{\rm{cos}}\frac{\pi }{3} - {\rm{cos}}x{\rm{sin}}\frac{\pi }{3} = {\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)\).

Chuyển sang côsin: \({\rm{sin}}\left( {x - \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{2} - \left( {x - \frac{\pi }{3}} \right)} \right) = {\rm{cos}}\left( {\frac{{5\pi }}{6} - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {x - \frac{{5\pi }}{6}} \right)\), không bằng \({\rm{cos}}\left( {x - \frac{\pi }{6}} \right)\).