Hằng ngày, mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \(h\,\left( m \right)\) của mực nước trong kênh tính theo thời gian \(t\,\left( h \right)\) được cho bởi công thức \(h = 3{\rm{sin}}\left( {\frac{{\pi t}}{4} + \frac{\pi }{3}} \right) + 14\). Thời gian ngắn nhất để mực nước của kênh cao nhất là \(t = \frac{a}{b}\). Tính giá trị \(a \cdot b\)?

a) Tìm giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\):

Xét hai mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\), ta có:

\(S\) là điểm chung thứ nhất: \(S \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Trong mặt đáy \(\left( {ABCD} \right)\), ta có \(O = AC \cap BD\).

Vì \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right) \Rightarrow O \in \left( {SAC} \right)\).

Vì \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O \in \left( {SBD} \right)\).

Suy ra \(O\) là điểm chung thứ hai: \(O \in \left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right)\).

Vậy giao tuyến cần tìm là đường thẳng \(SO\), ta có \(\left( {SAC} \right) \cap \left( {SBD} \right) = SO\).

b) Tìm giao điểm của \(SD\) và \(\left( {AMB} \right)\):

Chọn mặt phẳng phụ chứa \(SD\) là \(\left( {SBD} \right)\). Ta đã biết \(\left( {SBD} \right) \cap \left( {SAC} \right) = SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), gọi \(K\) là giao điểm của \(AM\) và \(SO\).

Xét giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) với mặt phẳng \(\left( {AMB} \right)\):

\(B\) là điểm chung thứ nhất.

Vì \(K \in AM \subset \left( {AMB} \right)\) và \(K \in SO \subset \left( {SBD} \right)\) nên \(K\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SBD} \right)\) và \(\left( {AMB} \right)\) là đường thẳng \(BK\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), gọi \(I\) là giao điểm của \(BK\) và \(SD\).

Vì \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{I \in SD}\\{I \in BK \subset \left( {AMB} \right)}\end{array}} \right. \Rightarrow I = SD \cap \left( {AMB} \right)\).

c) Chứng minh \(AM,BI,SO\) đồng quy:

Theo kết quả dựng hình ở câu b:

Trong mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\), ta có \(K = AM \cap SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), ta có \(I = BK \cap SD\), điều này có nghĩa là ba điểm \(B,K,I\) thẳng hàng, hay đường thẳng \(BI\) đi qua điểm \(K\).

Như vậy, cả ba đường thẳng \(AM\), \(SO\), và \(BI\) đều cắt nhau tại cùng một điểm \(K\).

Vậy ba đường thẳng \(AM,BI,SO\) đồng quy tại điểm \(K\).

Xét mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) chứa đường thẳng \(DM\).

Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng phụ \(\left( {SBD} \right)\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\):

Điểm chung thứ nhất là \(S\).

Trong mặt đáy \(ABCD\), \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(AC\) và \(BD\). Khi đó \(O \in AC \subset \left( {SAC} \right)\) và \(O \in BD \subset \left( {SBD} \right) \Rightarrow O\) là điểm chung thứ hai.

Do đó, giao tuyến của \(\left( {SAC} \right)\) và \(\left( {SBD} \right)\) là đường thẳng \(SO\).

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng \(DM\) cắt giao tuyến \(SO\) tại một điểm (gọi là \(I\)).

Vì \(I \in SO\) mà \(SO \subset \left( {SAC} \right)\) nên \(I \in \left( {SAC} \right)\). Vậy \(I\) chính là giao điểm của \(DM\) với mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Chọn B.