(3 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, đáy lớn AB. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, BC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC).

b) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

c) Tìm giao điểm I của đường thẳng MN và mặt phẳng (SBD).

a) Ta có \[{\cos ^2}a = 1 - {\sin ^2}a = 1 - {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = \frac{7}{{16}}\]. Suy ra \[\cos a = \pm \frac{{\sqrt 7 }}{4}\].

Vì \(0 < a < \frac{\pi }{2}\) nên \(\cos a > 0\), do đó \[\cos a = \frac{{\sqrt 7 }}{4}\].

Khi đó ta có, \(\tan a = \frac{{\sin a}}{{\cos a}} = \frac{{3\sqrt 7 }}{7}\); \(\cot a = \frac{{\cos a}}{{\sin a}} = \frac{{\sqrt 7 }}{3}\).

b) Ta có \(\cos 2a = 1 - 2{\sin ^2}a = 1 - 2 \cdot {\left( {\frac{3}{4}} \right)^2} = - \frac{1}{8}\).

a) \(\cos x = \frac{1}{2}\)

\( \Leftrightarrow \cos x = \cos \frac{\pi }{3}\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\x = - \frac{\pi }{3} + k2\pi \end{array} \right.\,\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

b) \(\tan 2x = 1\)

\( \Leftrightarrow \tan 2x = \tan \frac{\pi }{4}\)

\( \Leftrightarrow 2x = \frac{\pi }{4} + k\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{8} + k\frac{\pi }{2}\,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).

c) \(2\left( {\sin x + 3} \right){\cos ^4}\frac{x}{2} - \sin x\left( {1 + \cos x} \right) - 3\cos x - 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow 2\left( {\sin x + 3} \right){\cos ^4}\frac{x}{2} - 2\sin x{\cos ^2}\frac{x}{2} - 6{\cos ^2}\frac{x}{2} + 2 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x + 3} \right){\cos ^4}\frac{x}{2} - {\cos ^2}\frac{x}{2}\left( {\sin x + 3} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2}\left( {\sin x + 3} \right)\left( {{{\cos }^2}\frac{x}{2} - 1} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\cos ^2}\frac{x}{2}\left( {\sin x + 3} \right)\left( { - {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ { - \frac{1}{4} \cdot {{\left( {2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}} \right)}^2}} \right]\left( {\sin x + 3} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow - \frac{1}{4}{\sin ^2}x\left( {\sin x + 3} \right) + 1 = 0\)

\( \Leftrightarrow {\sin ^3}x + 3{\sin ^2}x - 4 = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {\sin x - 1} \right){\left( {\sin x + 2} \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\sin x = 1\\\sin x = - 2\,\,\left( {{\rm{vn}}} \right)\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow x = \frac{\pi }{2} + k2\pi \,\,\left( {k \in \mathbb{Z}} \right)\).