Một đồng hồ quả lắc đếm giây mỗi ngày nhanh 120 (s), phải điều chỉnh chiều dài của con lắc thế nào để đồng hồ chạy đúng?

a. Khi dây treo nghiêng góc \[\alpha = {30^{0\;}}\]so với phương thẳng đứng, vật M chịu tác dụng của các lực như hình vẽ. Do gia tốc có phương ngang nên \[T{\rm{ }}.{\rm{ }}cos{\rm{ }}{30^0}\; = {\rm{ }}m.g\;\](1)

Mặt khác, xét theo phương hướng tâm MO ta có:

\[T - mg.cos{30^0} = \frac{{m{v^2}}}{\ell }\](2) (Với v là vận tốc của vật tại M)

Từ (1) và (2) suy ra: \[{v^2} = \frac{{g\ell }}{{2\sqrt 3 }}\](3)

Áp dụng ĐLBT cơ năng cho hệ khi vật ở vị trí M và khi vật ở vị trí cân bằng ta được:

\[v_0^2 = {v^2} + 2g\ell (1 - cos{30^0}) = \frac{{12 - 5\sqrt 3 }}{6}g\ell \]\[ \Rightarrow {v_0} = 2,36m/s\]

b. Áp dụng ĐLBT cơ năng cho hệ khi vật ở vị trí \[\alpha = {40^0}\]và khi vật ở vị trí cân bằng ta được:

\[v_0^2 = {v^2} + 2g\ell (1 - cos{40^0})\]\[ \Rightarrow v = \sqrt {v20 - 2g\ell (1 - cos{{40}^0})} \approx 0,94m/s\]

Xét theo phương sợi dây ta có:

\[T{\rm{ }} = {\rm{ }}m.g.cos{40^0}\; + \frac{{m{v^2}}}{\ell } = 0,1.10.c{\rm{os 4}}{{\rm{0}}^0} + \frac{{0,1.0,{{94}^2}}}{1} = 0,86{\mkern 1mu} N\]

Gọi C là điểm gặp nhau, v là vận tốc dòng nước.

Theo đề bài: vận tốc 2 tàu so với dòng nước bằng nhau, ta gọi là V

Vì hai tàu xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại C nên \[\;{t_1}\; = {\rm{ }}{t_3}\]\[\] (1)

Sau đó, 2 tàu quay trở lại tổng thời gian tàu A đi là 3 h, tàu B đi là 1,5 h.

\[{t_1}\; + {\rm{ }}{t_2}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }}h\]

\[{t_3}\; + {\rm{ }}{t_{4\;}} = {\rm{ }}1,5{\rm{ }}h\]

Thời gian đi của tàu từ A tới C: \[{t_1} = \frac{{AC}}{{V + v}}\]

Thời gian về của tàu từ C tới A: \[{t_2} = \frac{{AC}}{{V - v}}\]

Thời gian tàu đi từ A cả đi lẫn về là: \[{t_1} + {t_2} = 3 \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{V + v}} + \frac{{AC}}{{V - v}} = AC\left( {\frac{1}{{V + v}} + \frac{1}{{V - v}}} \right){\mkern 1mu} = 3\] (2)

Thời gian đi của tàu từ B tới C: \[{t_3} = \frac{{BC}}{{V - v}}\]

Thời gian về của tàu từ C tới B: \[{t_4} = \frac{{BC}}{{V + v}}\]

Thời gian tàu đi từ B cả đi lẫn về là:

\[{t_3} + {t_4} = 1,5 \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{V - v}} + \frac{{BC}}{{V + v}} = BC\left( {\frac{1}{{V - v}} + \frac{1}{{V + v}}} \right) = 1,5\] (3)

Từ (2), (3) \[ \Rightarrow AC = 2BC \Rightarrow AC = \frac{2}{3}AB\] thay vào (1) được:

Mà thời gian đi của tàu từ A tới C bằng thời gian đi của tàu từ B tới C nên

\[\frac{{AC}}{{V + v}} = \frac{{BC}}{{V - v}} \Rightarrow V = 3v\]

Thay \[AC = \frac{2}{3}AB\] và \[V{\rm{ }} = {\rm{ }}3v\;\]vào (2)

\[\frac{2}{3}AB\left( {\frac{1}{{4v}} + \frac{1}{{2v}}} \right) = 3 \Rightarrow AB = 6v\] (4)

Để thời gian cả đi lẫn về của hai tàu như nhau thì hai tàu gặp nhau ở vị trí C’

\[ \Rightarrow \frac{{AC\prime }}{{V + v}} + \frac{{AC\prime }}{{V - v}} = \frac{{BC\prime }}{{V - v}} + \frac{{BC\prime }}{{V + v}} \Rightarrow AC\prime = BC\prime = \frac{{AB}}{2}\]

Khi xuất phát tàu B xuất phát trước tàu A một khoảng \[{t_0}\], ta có:

\[ \Rightarrow BC\prime \left( {\frac{1}{{V - v}} - \frac{1}{{V + v}}} \right) = {t_0} \Rightarrow \frac{{AB}}{2}\left( {\frac{1}{{2v}} - \frac{1}{{4v}}} \right) = {t_0}\]

Thay (4) vào \[ \Rightarrow {t_0} = \frac{{6v}}{2}.\frac{1}{{4v}} = 0,75{\mkern 1mu} h\]

Vậy tàu A phải xuất phát muộn hơn tàu B là 0,75 h = 45 phút.