Hai hòn bi bằng kim loại giống nhau có điện tích cùng dấu q và 4q ở cách nhau một khoảng \({r_1}\). Sau khi cho hai hòn bi tiếp xúc nhau, để cho lực tương tác giữa chúng không thay đổi, ta phải đặt chúng cách một khoảng \({r_2}\). Tính \({r_2}\)?

Gọi điện tích mỗi quả cầu là q.

Lực điện tác dụng lên mỗi quả cầu là: \({F_d} = k\frac{{{q^2}}}{{{r^2}}}\)

Từ hình vẽ, ta thấy: \[\frac{{{F_d}}}{P} = \frac{{\frac{r}{2}}}{{\sqrt {{\ell ^2} - {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}} }} \Rightarrow \frac{{k\frac{{{q^2}}}{{{r^2}}}}}{{mg}} = \frac{{\frac{r}{2}}}{{\sqrt {{\ell ^2} - {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}} }}\]

\[ \Rightarrow q = \sqrt {\frac{{mg{r^3}}}{{2k\sqrt {{\ell ^2} - {{\left( {\frac{r}{2}} \right)}^2}} }}} = \sqrt {\frac{{0,{{01.10}^{ - 3}}.10.0,{{06}^3}}}{{{{2.9.10}^9}.\sqrt {0,{5^2} - 0,{{03}^2}} }}} = 1,{55.10^{ - 9}}(C)\]

Gọi C là điểm gặp nhau, v là vận tốc dòng nước.

Theo đề bài: vận tốc 2 tàu so với dòng nước bằng nhau, ta gọi là V

Vì hai tàu xuất phát cùng lúc và gặp nhau tại C nên \[\;{t_1}\; = {\rm{ }}{t_3}\]\[\] (1)

Sau đó, 2 tàu quay trở lại tổng thời gian tàu A đi là 3 h, tàu B đi là 1,5 h.

\[{t_1}\; + {\rm{ }}{t_2}\; = {\rm{ }}3{\rm{ }}h\]

\[{t_3}\; + {\rm{ }}{t_{4\;}} = {\rm{ }}1,5{\rm{ }}h\]

Thời gian đi của tàu từ A tới C: \[{t_1} = \frac{{AC}}{{V + v}}\]

Thời gian về của tàu từ C tới A: \[{t_2} = \frac{{AC}}{{V - v}}\]

Thời gian tàu đi từ A cả đi lẫn về là: \[{t_1} + {t_2} = 3 \Leftrightarrow \frac{{AC}}{{V + v}} + \frac{{AC}}{{V - v}} = AC\left( {\frac{1}{{V + v}} + \frac{1}{{V - v}}} \right){\mkern 1mu} = 3\] (2)

Thời gian đi của tàu từ B tới C: \[{t_3} = \frac{{BC}}{{V - v}}\]

Thời gian về của tàu từ C tới B: \[{t_4} = \frac{{BC}}{{V + v}}\]

Thời gian tàu đi từ B cả đi lẫn về là:

\[{t_3} + {t_4} = 1,5 \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{V - v}} + \frac{{BC}}{{V + v}} = BC\left( {\frac{1}{{V - v}} + \frac{1}{{V + v}}} \right) = 1,5\] (3)

Từ (2), (3) \[ \Rightarrow AC = 2BC \Rightarrow AC = \frac{2}{3}AB\] thay vào (1) được:

Mà thời gian đi của tàu từ A tới C bằng thời gian đi của tàu từ B tới C nên

\[\frac{{AC}}{{V + v}} = \frac{{BC}}{{V - v}} \Rightarrow V = 3v\]

Thay \[AC = \frac{2}{3}AB\] và \[V{\rm{ }} = {\rm{ }}3v\;\]vào (2)

\[\frac{2}{3}AB\left( {\frac{1}{{4v}} + \frac{1}{{2v}}} \right) = 3 \Rightarrow AB = 6v\] (4)

Để thời gian cả đi lẫn về của hai tàu như nhau thì hai tàu gặp nhau ở vị trí C’

\[ \Rightarrow \frac{{AC\prime }}{{V + v}} + \frac{{AC\prime }}{{V - v}} = \frac{{BC\prime }}{{V - v}} + \frac{{BC\prime }}{{V + v}} \Rightarrow AC\prime = BC\prime = \frac{{AB}}{2}\]

Khi xuất phát tàu B xuất phát trước tàu A một khoảng \[{t_0}\], ta có:

\[ \Rightarrow BC\prime \left( {\frac{1}{{V - v}} - \frac{1}{{V + v}}} \right) = {t_0} \Rightarrow \frac{{AB}}{2}\left( {\frac{1}{{2v}} - \frac{1}{{4v}}} \right) = {t_0}\]

Thay (4) vào \[ \Rightarrow {t_0} = \frac{{6v}}{2}.\frac{1}{{4v}} = 0,75{\mkern 1mu} h\]

Vậy tàu A phải xuất phát muộn hơn tàu B là 0,75 h = 45 phút.