Góc khán đài A của sân vận động Sportify Camp Nou (Barcelona) có \(60\) hàng ghế. Hàng đầu tiên có \(20\) ghế. Mỗi hàng ghế sau có thêm \(5\) chỗ ngồi so với hàng ghế trước. Hỏi góc khán đài A có bao nhiêu ghế?

Trong mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\), đường thẳng \(IB\) giao với cạnh bên \(SD\) tại điểm \(M\). Do \(SD \subset \left( {SAD} \right)\) nên \(M\) chính là giao điểm của \(IB\) và \(\left( {SAD} \right)\).

Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác \(SOD\) với 3 điểm thẳng hàng \(I,B,M\):

\(\frac{{IS}}{{IO}} \cdot \frac{{BO}}{{BD}} \cdot \frac{{MD}}{{MS}} = 1\)

Theo bài ra: \(\frac{{IS}}{{IO}} = 2\). Do \(O\) là tâm hình vuông nên \(O\) là trung điểm cạnh \(BD \Rightarrow \frac{{BO}}{{BD}} = \frac{1}{2}\).

Thay vào đẳng thức Menelaus: \(2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{{MD}}{{MS}} = 1 \Rightarrow \frac{{MD}}{{MS}} = 1 \Rightarrow M\) là trung điểm của \(SD\).

Mặt khác,  vuông cân tại \(S\) nên trung tuyến \(SO = \frac{1}{2}BD\). Đường chéo hình vuông \(BD = 4\sqrt 2 {\rm{\;cm}} \Rightarrow SD = \frac{{BD}}{{\sqrt 2 }} = 4{\rm{\;cm}}\).

Vì \(M\) là trung điểm \(SD\) nên độ dài đoạn \(MD = \frac{{SD}}{2} = \frac{4}{2} = 2{\rm{\;cm}}\).

Đáp số: 2.

a) Vì \(E\) là trọng tâm  với đường trung tuyến \(SM\) (\(M\) là trung điểm \(AD\)) nên \(E \in SM\) và thỏa mãn \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{2}{3}\).

Tương tự, \(F\) là trọng tâm  với đường trung tuyến \(SN\) (\(N\) là trung điểm \(BC\)) nên \(F \in SN\) và thỏa mãn \(\frac{{SF}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Xét tam giác \(SMN\), ta có: \(\frac{{SE}}{{SM}} = \frac{{SF}}{{SN}} = \frac{2}{3}\).

Theo định lý Thales đảo trong tam giác \(SMN\), suy ra \(EF{\rm{//}}MN\).

Mặt khác, trong hình thang \(ABCD\), \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của hai cạnh bên \(AD\) và \(BC\) nên \(MN\) là đường trung bình của hình thang \( \Rightarrow MN{\rm{//}}AB\).

Từ hệ thức bắc cầu \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{EF{\rm{//}}MN}\\{MN{\rm{//}}AB}\end{array} \Rightarrow EF{\rm{//}}AB} \right.\).

b) Trong \(\Delta SAD\), vì \(E\) là trọng tâm nên đường thẳng \(AE\) chính là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh \(A\).

Gọi \(P\) là trung điểm của \(SD\). Khi đó, \(P\) phải thuộc đường thẳng \(AE\).

Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{P \in AE \subset \left( {AEF} \right)}\\{P \in SD \subset \left( {SCD} \right)}\end{array} \Rightarrow P \in \left( {AEF} \right) \cap \left( {SCD} \right)} \right.\).

Vậy \(P\) là một điểm chung của hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\).

Xét hai mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\), ta có:

\(P\) là điểm chung của hai mặt phẳng.

Mặt phẳng \(\left( {AEF} \right)\) chứa đường thẳng \(EF\).

Mặt phẳng \(\left( {SCD} \right)\) chứa đường thẳng \(CD\).

Mà \(EF{\rm{//}}CD\) (vì cùng song song với \(AB\)).

Theo định lí về giao tuyến của hai mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song: Giao tuyến \(d\) của \(\left( {AEF} \right)\) và \(\left( {SCD} \right)\) sẽ là đường thẳng đi qua điểm chung \(P\) và song song với cả \(EF\) và \(CD\).

Kết luận: Giao tuyến \(d\) là đường thẳng qua \(P\) (trung điểm \(SD\)) và song song với \(CD\) (đường thẳng \(d\) này cũng chính là đường trung bình \(PQ\) của \(\Delta SCD\), với \(Q\) là trung điểm của \(SC\)).

Theo cách xác định giao tuyến ở trên, đường thẳng \(d\) được dựng song song với \(CD\) và \(EF\).

Do đó, ta hiển nhiên có: \(d{\rm{//}}EF\).