Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất \(25{\rm{m}}\) tại một góc ngắm \(\alpha \) (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất \(10{\rm{m}}\). Tính khoảng cách từ vận động viên đến bức tường (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét)?

                                               

_____

Theo hình vẽ, tia đầu của góc lượng giác là \(OA\) (nằm trên tia \(Ox\)) và tia cuối là \(OM\). Góc hình học tạo bởi hai tia này bằng \(150^\circ \). Chiều quay từ tia \(OA\) đến tia \(OM\) là chiều ngược với chiều quay của kim đồng hồ, quy ước đây là chiều dương. Do đó, công thức số đo tổng quát của góc lượng giác này là \(150^\circ + k360^\circ \) với \(k \in \mathbb{Z}\).

Chọn C.

a) ĐÚNG: Ta có \({\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = 1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha = 1 - {\left( {\frac{{11}}{{61}}} \right)^2} = \frac{{3600}}{{3721}}\). Vì góc thuộc khoảng \(\left( { - \frac{\pi }{2};0} \right)\) (góc phần tư thứ IV) nên giá trị sin âm. Do đó, \({\rm{sin}}\alpha = - \sqrt {\frac{{3600}}{{3721}}} = - \frac{{60}}{{61}}\).

b) SAI: Sử dụng công thức cộng: \[{\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{6} - \alpha } \right) = {\rm{sin}}\frac{\pi }{6}{\rm{cos}}\alpha - {\rm{cos}}\frac{\pi }{6}{\rm{sin}}\alpha = \frac{1}{2} \cdot \frac{{11}}{{61}} - \frac{{\sqrt 3 }}{2} \cdot \left( { - \frac{{60}}{{61}}} \right) = \frac{{11 + 60\sqrt 3 }}{{122}}\], giá trị này hoàn toàn khác với \(\frac{{11}}{{122}}\).

c) SAI: Tính các giá trị nhân đôi: \({\rm{sin}}2\alpha = 2{\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\alpha = - \frac{{1320}}{{3721}}\) và \({\rm{cos}}2\alpha = {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha = - \frac{{3479}}{{3721}}\).

Áp dụng công thức cộng cho cosin: \({\rm{cos}}\left( {2\alpha + \frac{\pi }{3}} \right) = {\rm{cos}}2\alpha {\rm{cos}}\frac{\pi }{3} - {\rm{sin}}2\alpha {\rm{sin}}\frac{\pi }{3} = \frac{{ - 3479 + 1320\sqrt 3 }}{{7442}}\), biểu thức dính căn thức nên không bằng phân số thuần túy đề bài cho.

d) ĐÚNG: Ta tìm được \({\rm{tan}}2\alpha = \frac{{{\rm{sin}}2\alpha }}{{{\rm{cos}}2\alpha }} = \frac{{1320}}{{3479}}\).

Khai triển biểu thức: \[{\rm{tan}}\left( {\frac{{3\pi }}{4} - 2\alpha } \right) = \frac{{{\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4} - {\rm{tan}}2\alpha }}{{1 + {\rm{tan}}\frac{{3\pi }}{4}{\rm{tan}}2\alpha }} = \frac{{ - 1 - \frac{{1320}}{{3479}}}}{{1 - \frac{{1320}}{{3479}}}} = - \frac{{4799}}{{2159}}\].