Một vận động viên bắn súng nằm trên mặt đất để ngắm bắn các mục tiêu khác nhau trên một bức tường thẳng đứng. Vận động viên bắn trúng một mục tiêu cách mặt đất \(25{\rm{m}}\) tại một góc ngắm \(\alpha \) (góc hợp bởi phương ngắm với phương ngang). Nếu giảm góc ngắm đi một nửa thì vận động viên bắn trúng mục tiêu cách mặt đất \(10{\rm{m}}\). Tính khoảng cách từ vận động viên đến bức tường (làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo đơn vị mét)?

                                               

_____

Sử dụng các công thức liên quan giữa các góc đặc biệt để thu gọn:

* \({\rm{sin}}\left( {\frac{{9\pi }}{2} - x} \right) = {\rm{sin}}\left( {4\pi + \frac{\pi }{2} - x} \right) = {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = {\rm{cos}}x\);

* \({\rm{cos}}\left( {19\pi - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {18\pi + \pi - x} \right) = {\rm{cos}}\left( {\pi - x} \right) = - {\rm{cos}}x\).

Thay lại vào biểu thức ban đầu, ta rút gọn được: \(T = 2{\rm{cos}}x + 3\left( { - {\rm{cos}}x} \right) = - {\rm{cos}}x\). Đồng nhất hệ số đứng trước biểu thức \({\rm{cos}}x\) với dạng thức \(k{\rm{cos}}x\), ta suy ra được giá trị \(k = - 1\).

Đáp số: \( - 1\).

a) ĐÚNG: Do tính tuần hoàn của hàm cosin với chu kỳ \(2\pi \), ta trừ bớt đại lượng \(18\pi \) ở cả hai đầu mút khoảng \(\left( {19\pi ;\frac{{79\pi }}{4}} \right)\), bài toán đưa về xét trên khoảng \(\left( {\pi ;\frac{{7\pi }}{4}} \right)\). Trên khoảng này, điểm biểu diễn chạy trên nửa dưới đường tròn lượng giác thuộc góc phần tư thứ III và thứ IV, giá trị cosin liên tục tăng từ \( - 1\) lên đến \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\), tức là hàm số đồng biến.

b) ĐÚNG: Tập xác định \(D = \mathbb{R}\) là tập đối xứng và ta luôn có \({\rm{cos}}\left( { - x} \right) = {\rm{cos}}x\) với mọi \(x\), đây chính là định nghĩa của hàm số chẵn.

c) SAI: Tập xác định của hàm số \(y = {\rm{cos}}x\) là \(D = \mathbb{R}\), còn khoảng \(\left[ { - 1;1} \right]\) là tập giá trị của hàm số.

d) SAI: Đoạn \(\left[ {\frac{{ - \pi }}{4};\frac{{2\pi }}{3}} \right]\) chứa điểm \(x = 0\). Tại điểm này, \({\rm{cos}}0 = 1\). Vì 1 là giá trị lớn nhất tuyệt đối của hàm số cosin nên giá trị lớn nhất trên đoạn này phải bằng 1, không phải \(\frac{{\sqrt 2 }}{2}\).