Cho dãy số \(\left( {{a_n}} \right)\) được xác định bởi hệ thức truy hồi: \({a_1} = 2,{a_{n + 1}} = - 2{a_n}\) với \(n \in {\mathbb{N}^*}.\) Xét tính đúng, sai của các mệnh đề sau:

Vì \(\alpha ,\beta \) nằm ở góc phần tư thứ II nên \({\rm{cos}}\alpha < 0\) và \({\rm{sin}}\beta > 0\).

Tính các giá trị lượng giác:

\({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \sqrt {1 - \frac{1}{9}} = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\);

\({\rm{sin}}\beta = \sqrt {1 - {\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\beta } = \sqrt {1 - \frac{4}{9}} = \frac{{\sqrt 5 }}{3}\).

\({\rm{tan}}\alpha = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{4};{\rm{tan}}\beta = - \frac{{\sqrt 5 }}{2}\).

a) Sai. Giá trị đúng phải là \({\rm{cos}}\alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}\). Do đó ý a) sai dấu.

b) Sai. \({\rm{tan}}\left( {\alpha - \beta } \right) = \frac{{{\rm{tan}}\alpha - {\rm{tan}}\beta }}{{1 + {\rm{tan}}\alpha \cdot {\rm{tan}}\beta }} = \frac{{ - \frac{{\sqrt 2 }}{4} + \frac{{\sqrt 5 }}{2}}}{{1 + \frac{{\sqrt {10} }}{8}}} = \frac{{2\left( {2\sqrt 5 - \sqrt 2 } \right)}}{{8 + \sqrt {10} }} \approx 0,55 > \frac{1}{2}\).

c) Đúng. \({\rm{sin}}\left( {\alpha + \beta } \right) = {\rm{sin}}\alpha {\rm{cos}}\beta + {\rm{cos}}\alpha {\rm{sin}}\beta = \frac{1}{3} \cdot \left( { - \frac{2}{3}} \right) + \left( { - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}} \right) \cdot \left( {\frac{{\sqrt 5 }}{3}} \right) = - \frac{{2 + 2\sqrt {10} }}{9}\).

d) Đúng. Biến đổi biểu thức vế trái bằng công thức hạ bậc góc nhân đôi:

\({\rm{VT}} = \frac{{2{{\left( {1 - {\rm{cos}}2\alpha } \right)}^2}}}{{2{{\left( {1 + {\rm{cos}}2\alpha } \right)}^2}}} = \frac{{{{\left( {2{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } \right)}^2}}}{{{{\left( {2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\alpha } \right)}^2}}} = {\rm{ta}}{{\rm{n}}^4}\alpha = {\left( { - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}} \right)^4} = \frac{1}{{64}}\).

Đường tròn được chia làm 20 phần bằng nhau nên góc ở tâm giữa hai ô xe liên tiếp là: \({\alpha _0} = \frac{{2\pi }}{{20}} = \frac{\pi }{{10}}{\rm{\;rad}}\).

Từ ô số 2 đến ô số 8 theo chiều ngược kim đồng hồ sẽ trải qua: \(8 - 2 = 6\) khoảng chia.

Góc quay tương ứng là: \(\alpha = 6 \cdot \frac{\pi }{{10}} = \frac{{3\pi }}{5}{\rm{\;rad}}\).

Quãng đường di chuyển chính là độ dài cung tròn: \(s = R \cdot \alpha = 50 \cdot \frac{{3\pi }}{5} = 30\pi \approx 94,25{\rm{\;m}}\).

Đáp án: B.