Tìm số nghiệm của phương trình \(\sin 2x - \cos 3x = 0\) trong đoạn \(x \in \left[ {0;\frac{\pi }{2}} \right].\)

__

a) SAI. Với miền giá trị \(\alpha \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), điểm biểu diễn của góc \(\alpha \) phải thuộc góc phần tư thứ II.

b) SAI. Do \(\alpha \) thuộc góc phần tư thứ II nên giá trị \({\rm{cos}}\alpha < 0\). Ta tính được \({\rm{cos}}\alpha = - \sqrt {1 - {\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\alpha } = - \frac{3}{5}\). Từ đó \({\rm{tan}}\alpha = \frac{{{\rm{sin}}\alpha }}{{{\rm{cos}}\alpha }} = - \frac{4}{3}\).

c) ĐÚNG. Áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích cho vế trái:

\({\rm{sin}}\left( {\alpha + \frac{\pi }{4}} \right) + {\rm{sin}}\left( {\alpha - \frac{\pi }{4}} \right) = 2{\rm{sin}}\alpha \cdot {\rm{cos}}\left( {\frac{\pi }{4}} \right) = 2 \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{4\sqrt 2 }}{5}\).

d) ĐÚNG. Với \(\alpha \in \left[ {\frac{\pi }{2};\frac{{3\pi }}{4}} \right]\), hàm số \({\rm{sin}}\alpha \) nghịch biến nên \({\rm{sin}}\left( {\frac{{3\pi }}{4}} \right) \le {\rm{sin}}\alpha \le {\rm{sin}}\left( {\frac{\pi }{2}} \right) \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} \le {\rm{sin}}\alpha \le 1\).

Suy ra \(\sqrt 2 - 1 \le 2{\rm{sin}}\alpha - 1 \le 1\).

Giá trị lớn nhất của \(A\) đạt được khi mẫu số nhỏ nhất: \({A_{{\rm{max}}}} = \frac{1}{{\sqrt 2 - 1}} = \sqrt 2 + 1\).

Vòng quay cabin di chuyển theo chiều kim đồng hồ. Dựa theo sơ đồ phân chia, từ vị trí xuất phát \(C\) của Công đi theo chiều quay đến vị trí \(B\) của Bảo tương ứng quét qua đúng 9 khoảng góc \(\alpha = 30^\circ \).

Tổng góc quay ở tâm đường tròn: \(9 \cdot 30^\circ = 270^\circ \).

Chuyển đổi số đo góc sang đơn vị rađian: \(\theta = 270 \cdot \frac{\pi }{{180}} = \frac{{3\pi }}{2}{\rm{\;rad}}\).

Đoạn đường di chuyển thực tế chính là độ dài cung tròn: \(s = R \cdot \theta = 10 \cdot \frac{{3\pi }}{2} = 15\pi \approx 47,1239{\rm{\;}}\left( {\rm{m}} \right)\).

Làm tròn kết quả đến hàng phần mười theo yêu cầu đề bài ta được kết quả \(47,1\) m.

Đáp số: 47,1.