Câu hỏi:

29/06/2026 65

(0.5 điểm). Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \[m\] để phương trình \[{\sin ^6}x + {\cos ^6}x - {\sin ^2}4x = m\] có \[4\] nghiệm thuộc đoạn $\left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$.

Xem lời giải

Câu hỏi trong đề: Bộ 8 đề thi giữa kì 1 Toán 11 năm 2023-2024 Hà Nội (có đáp án) !!

Giao bài

Quảng cáo

Trả lời:

Giải bởi Vietjack

Ta có ${\sin ^4}x + {\cos ^4}x = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4x$

Phương trình trở thành $8{\cos ^2}4x + 3\cos 4x = 8m + 3$

Đặt $t = \cos 4x,$ với $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$ nên $t \in \left[ { - 1;1} \right]$

Khi đó phương trình trở thành $8{t^2} + 3t = 8m + 3\,\,\,(*)$

Ứng với mỗi $t \in {\rm{[}} - 1;1)$ thì phương trình $\cos 4x = t$ sẽ có ta hai giá trị của $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$

Với $t = 1$ thì phương trình $\cos 4x = t$ cho ta đúng một giá trị của $x \in \left[ { - \frac{\pi }{4};\frac{\pi }{4}} \right]$

Do đó yêu cầu bài toán tương đương với (*) có hai nghiệm $t$ phân biệt thuộc ${\rm{[}} - 1;1)$.

Xét hàm $f(t) = 8{t^2} + 3t$ trên ${\rm{[}} - 1;1)$.

Bảng biến thiên

$Trong (SAB) có \[MI \cap SB = K \R (ảnh 1)$

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy yêu cầu của bài toán

$ \Leftrightarrow - \frac{9}{{32}} < 8m + 3 \le 5 \Leftrightarrow - \frac{{105}}{{256}} < m \le \frac{1}{4}$. Kết luận.

Hot: Giáo án năng lực số, PPT AI khởi động lớp 1-12 (Update 2026) (chỉ từ 150k). Tải ngay

Các sản phẩm khác của Vietjack:

CÂU HỎI HOT CÙNG CHỦ ĐỀ

Câu 1

Cho tứ diện $ABCD$. Lấy điểm $M$ thuộc cạnh \[AC\] sao cho $AM = 2MC$và $N$là trung điểm $AB$. Gọi $I$là một điểm thuộc miền trong của $\Delta BCD$. Giao điểm của $CD$ với $\left( {IMN} \right)$ là giao điểm của $CD$ với

A. \[IK\], \[K\] là giao điểm của \[MN\] và \[BC\].

B. \[IK\], \[K\] là giao điểm của \[MI\] và \[BC\].

C. \[IK\], \[K\] là giao điểm của \[IN\] và \[BC\].

D. \[IK\], \[K\] là giao điểm của \[MN\] và \[AD\].

Lời giải

Chọn A

$Chọn A Do \[BP = 2PD\] nên trong mặt phẳng $\left( {BCD} \right)$: $CD$ cắt $NP$ tại $E$. Suy ra: $CD \cap \left( {MNP} \right) = E.$ (ảnh 1)$

Do $AM = 2MC$ nên trong mặt phẳng $\left( {ABC} \right)$ ta có $MN \cap BC = K.$

Suy ra: Giao điểm của $CD$ với $\left( {IMN} \right)$ là giao điểm của $CD$ với $IK$.

Câu 2

Điều kiện xác định của hàm số $y = \frac{{2\sin x + 1}}{{1 - \cos x}}$ là:

A. $x \ne \frac{\pi }{2} + k\pi .$

B. $x \ne k\pi .$

C. $x \ne \frac{\pi }{2} + k2\pi .$

D. $x \ne k2\pi .$

Lời giải

Chọn D

Điều kiện xác định của hàm số $\cos x \ne 1 \Leftrightarrow x \ne k.2\pi $, $k \in \mathbb{Z}.$

Câu 3

PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

(1.0 điểm). Cho \[\sin \alpha = - \frac{4}{5};\,\] với \[\, - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le 0.\]Tính giá trị của biểu thức \[T = 4\cot 2\alpha + \frac{{25}}{3}\cos 2\alpha \].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 4

(1.5 điểm). Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \[2\sin 2x + 1 = 0\];

b) \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\];

c) \[\cos x - \sqrt 3 \sin x = - \sqrt 2 \].

Xem đáp án

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 5

Cho $\sin \alpha = \frac{1}{3}$, với $\frac{\pi }{2} < \alpha < \pi $. Giá trị $\cos \alpha $ bằng:

A. $\cos \alpha = \frac{2}{3}$.

B. $\cos \alpha = - \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

C. $\cos \alpha = - \frac{2}{3}$.

D. $\cos \alpha = \frac{{2\sqrt 2 }}{3}$.

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 6

Hằng ngày mực nước của con kênh lên xuống theo thủy triều. Độ sâu \[h\] (mét) của mực nước trong kênh được tính tại thời điểm \[t\] (giờ) trong một ngày bởi công thức \[h = 4\cos \left( {\frac{{\pi t}}{6} + \frac{\pi }{3}} \right) + 15.\] Mực nước của kênh cao nhất khi:

A. $t = 10$ (giờ).

B. $t = 12$ (giờ).

C. $t = 11$ (giờ).

D. $t = 13$ (giờ).

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Câu 7

Giá trị nhỏ nhất của hàm số $y = {\sin ^2}x - \sin x + \frac{5}{4}$ là:

A. \[\frac{{13}}{4}.\]

B. \[1.\]

C. \[\frac{5}{4}\].

D. \[0.\]

Lời giải

Bạn cần đăng ký gói VIP ( giá chỉ từ 250K ) để làm bài, xem đáp án và lời giải chi tiết không giới hạn.

Nâng cấp VIP

Xem thêm các câu hỏi khác »

Lớp 12

Lớp 11

Lớp 10

Ôn vào 10

Lớp 9

Lớp 8

Lớp 7

Lớp 6

Ôn vào 6

Lớp 5

Lớp 4

Lớp 3

Lớp 2

Lớp 1

Đại học

ĐGNL - ĐGTD

Tốt nghiệp THPT

Ôn vào 10

Ôn vào 6

V-ACT

HSA

TSA

SPT

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lý

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lí

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Lịch sử

Địa lí

Giáo dục Kinh tế và Pháp luật

Tin học

Công nghệ

Toán

Văn

Tiếng Anh

Vật lý

Hóa học

Sinh học

Khoa học tự nhiên

Tin học

Lịch sử

Địa lí

Toán

Văn

Tiếng Anh

PHẦN II. TỰ LUẬN (5,0 điểm)

(1.0 điểm). Cho \[\sin \alpha = - \frac{4}{5};\,\] với \[\, - \frac{\pi }{2} \le \alpha \le 0.\]Tính giá trị của biểu thức \[T = 4\cot 2\alpha + \frac{{25}}{3}\cos 2\alpha \].

(1.5 điểm). Giải các phương trình lượng giác sau:

a) \[2\sin 2x + 1 = 0\];

b) \[\cos \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \cos \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right)\];

c) \[\cos x - \sqrt 3 \sin x = - \sqrt 2 \].