(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\)có đáy \(ABCD\)là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm \(AD\) và \(SB\).

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)

b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Chứng minh \(E,F,A\)thẳng hàng.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NAD} \right)\)và \(\left( {SBC} \right).\)

Ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}N \in SB \subset \left( {SBC} \right) \Rightarrow N \in \left( {SBC} \right)\\N \in \left( {NAD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {SBC} \right) \cap (NAD)\\AD//BC\end{array} \right.\)

Nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng \[d\] đi qua \[N\] và song song với \[BC\] và \[AD\]

b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(DN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\).

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)

Trong mp(SBD) có \(DN \cap SO = \left\{ E \right\}\)

Khi đó \(E \in SO \Rightarrow E \in \left( {SAC} \right) \Rightarrow E = DN \cap \left( {SAC} \right)\)

c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SAC} \right)\). Chứng minh \(E,F,A\)thẳng hàng.

Gọi \(BM \cap AC = \left\{ H \right\}\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SBM} \right)\) gọi \(MN \cap SH = \left\{ F \right\}\)

Khi đó \(F = MN \cap \left( {SBD} \right)\).

Các điểm E , F , A  lần lượt thuộc các đường thẳng DN, MN, AM  nên  \(\left\{ \begin{array}{l}E \in DN \subset mp\left( {DMN} \right)\\E \in SO \subset mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}F \in MN \subset mp\left( {DMN} \right)\\F \in SH \subset mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}A \in MD \subset mp\left( {DMN} \right)\\A \in mp\left( {SAC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow A \in \left( {DMN} \right) \cap (SAC)\)

Nên \(E,F,A\) nằm trên giao tuyến của 2 mp \(\left( {DMN} \right)\& (SAC)\)

\( \Rightarrow E,F,A\) thẳng hàng. (đpcm)