(1,5 điểm) Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình bình hành. Gọi \(M,\,N\) lần lượt là trung điểm \(BC\) và \(SA\).

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)

b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh \(E,F,B\)thẳng hàng.

a) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng \(\left( {NBC} \right)\) và \(\left( {SAD} \right).\)

Ta có: \[\left\{ \begin{array}{l}N \in SA \subset \left( {SAD} \right) \Rightarrow N \in \left( {SAD} \right)\\N \in \left( {NBC} \right)\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}N \in \left( {NBC} \right) \cap (SAD)\\AD//BC\end{array} \right.\]

Nên giao tuyến của 2 mp là đường thẳng \[d\] đi qua \[N\] và song song với \[BC\] và \[AD\]

b) Xác định giao điểm \(E\) của đường thẳng \(CN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\).

Gọi \(AC \cap BD = \left\{ O \right\}\)

Trong \[\left( {SAC} \right)\] có \(CN \cap SO = \left\{ E \right\}\)

Khi đó \(E \in SO \Rightarrow E \in \left( {SBD} \right) \Rightarrow E = CN \cap \left( {SBD} \right)\).

c) Gọi \(F\) là giao điểm của đường thẳng \(MN\) và mặt phẳng \(\left( {SBD} \right)\). Chứng minh \(E,F,B\)thẳng hàng.

Khi đó \(F = MN \cap \left( {SBD} \right)\).

Các điểm \(E,F,B\)lần lượt thuộc các đường thẳng \(CN\), \(MN\), \(CM\) nên

Trong mặt phẳng \(\left( {ABCD} \right)\), gọi \(AM \cap BD = \left\{ H \right\}\)

Trong mặt phẳng \(\left( {SAM} \right)\), gọi \(MN \cap SH = \left\{ F \right\}\)  \(\left\{ \begin{array}{l}E \in CN \subset mp\left( {CMN} \right)\\E \in SO \subset mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow E \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}F \in MN \subset mp\left( {CMN} \right)\\F \in SH \subset mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow F \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)\)

\(\left\{ \begin{array}{l}B \in CM \subset mp\left( {CMN} \right)\\B \in mp\left( {SBD} \right)\end{array} \right. \Rightarrow B \in \left( {CMN} \right) \cap (SBD)\)

Nên \(E,F,B\) nằm trên giao tuyến của 2 mp\(\left( {CMN} \right)\& (SBD)\)

\( \Rightarrow E,F,B\) thẳng hàng. (đpcm)